В статье обсуждается возможность использования биспектра при исследовании регулярного и хаотического поведения одномерных точечных отображений. Эффективность трансфера этого понятия в нелинейную динамику продемонстрирована на примере отображения Фейгенбаума. Также в работе рассмотрено применение энтропии Кульбака–Лейблера в теории точечных отображений. Показано, что эта величина информационного характера пригодна для описания поведения статистических ансамблей одномерных отображений. В рамках этой теории выявлены некоторые общие свойства её поведения. Конструктивизм энтропии Кульбака–Лейблера в теории точечных отображений показан также прямым её вычислением для отображения «зуб пилы» с линейным начальным распределением вероятностей. Кроме того, для этого отображения указано счётное множество начальных распределений вероятностей, попадающих в его стационарное распределение вероятностей за конечное число шагов.

 

 

В работе рассматривается решение вида движущегося фронта начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в полосе с периодическими условиями по одной из переменных. Особенностями настоящей работы является постановка задачи в двумерной области и наличие большого адвективного слагаемого в исходном уравнении. Интерес к решениям вида фронта связан с задачами горения или нелинейных акустических волн. В области определения функции, описывающей движущийся фронт, содержится подобласть, в которой функция обладает большим градиентом. Эта подобласть называется внутренним переходным слоем. Задачи с внутренними переходными слоями содержат естественный малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Наличие малого параметра при старшей производной по пространственным координатам делает задачу сингулярно возмущенной. Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой, проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма. Кроме того, аналитические методы, использованные в работе, позволяют выписать уравнение для кривой, в области которой локализован фронт. Эти сведения могут быть полезными для разработки математических моделей или численных алгоритмов для решения задач вида реакция-диффузияадвекция.

Рассматривается решение вида движущегося фронта сингулярно возмущенной системы уравнений типа ФицХью–Нагумо. Решение содержит внутренний переходный слой, то есть подобласть где происходит резкое изменение значений функций, описывающих решение. В начально-краевых задачах с решениями вида фронтов содержится естественный малый параметр, равный отношению ширины внутреннего переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Учет малого параметра приводит к тому, что уравнения становятся сингулярно возмущенными, тем самым задачи относятся к разряду «жестких», численное решение которых встречает определенные трудности и не всегда дает достоверный результат. В связи с этим возрастает роль аналитического исследования таких задач и доказательства существования решения с внутренним переходным слоем. В этих целях особо эффективным является использование метода дифференциальных неравенств, который состоит в построении непрерывных функций, называемых верхним и нижним решениями. При этом важную роль играет так называемое «условие квазимонотонности» функций, описывающих реактивные слагаемые. В настоящей работе приведен алгоритм построения верхнего и нижнего решений системы параболических уравнений с одномасштабным внутренним переходным слоем, при этом условие квазимонотонности отличается от аналогичного условия в ранее опубликованных работах. Приведенный алгоритм может быть в дальнейшем обобщен на более сложные системы с двухмасштабными переходными слоями или на системы с разрывными реактивным слагаемыми. Подобные исследования имеют важное практическое значение для создания математически обоснованных моделей биофизики.

Рассматриваются колебания упругой балки с продольным сжатием. Такая балка может быть реализована из двух упругих стальных полос, соединённых на свободных концах. Сжатие в балке происходит за счет натянутой нити. Возбуждение колебаний осуществляется воздействием переменного магнитного поля на магнит, установленный на конце балки. Регистрировался закон движения при изменении частоты гармонического воздействия. В результате натурного эксперимента был получен большой массив данных, представляющих собой как упорядоченные периодические колебания, так и неупорядоченные колебания, характерные для динамических систем с хаотическим поведением. Для изучения инвариантных числовых характеристик аттрактора соответствующей динамической системы вычислялись корреляционный интеграл и корреляционная размерность, а также β-статэнтропия. Объемный численный эксперимент показал, что вычисление β-статэнтропии предпочтительнее расчёта корреляционного показателя. На основе разработанных алгоритмов построена зависимость β-статэнтропии от частоты внешнего воздействия. Эта зависимость может служить эффективным инструментом для оценки адекватности математической модели вынужденных колебаний балки с потерей устойчивости.

В работе рассматривается задача математического моделирования окислительновосстановительных колебательных химических реакций, в основе которых лежит широко известный механизм реакции Белоусова. Процесс взаимодействия основных компонентов в такой реакции может быть интерпретирован феноменологически близкой к ней моделью «хищник – жертва». В связи с этим рассматривается параболическая краевая задача, состоящая из трех уравнений вольтерровского типа, которая представляет собой математическую модель этой реакции. Сначала проводится локальное исследование окрестности нетривиального состояния равновесия системы, определяется критический параметр, при котором в окрестности нетривиального решения колебательным образом теряется устойчивость. С помощью стандартных замен строится нормальная форма изучаемой системы, приводится вид ее коэффициентов, по которым определяется качественное поведение модели, кроме того, построено их графическое представление в зависимости от параметров задачи. Полученная нормальная форма позволяет доказать теорему о существовании орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла, ответвляющегося от состояния равновесия, и найти его асимптотику. Для выяснения границ применимости найденной асимптотики проводится сравнение амплитуд колебаний одной из компонент периодического решения, полученных на основе асимптотических формул и путем численного интегрирования модельной системы. Наряду с основным случаем бифуркации Андронова–Хопфа рассмотрены различные комбинации значений коэффициентов нормальной формы, получающиеся при изменении параметров исследуемой системы, и изучено соответствующее им поведение решений вблизи рассматриваемого состояния равновесия. Далее рассмотрена задача о диффузионной потере устойчивости полученного на первом этапе пространственно однородного цикла. Найдено критическое значение параметра диффузии, при котором этот цикл распределенной системы теряет устойчивость.

В работе рассматривается модель оптико-электронного осциллятора, описываемая системой дифференциальных уравнений с запаздыванием. Существенной особенностью данной модели является наличие малого параметра перед одной из производных, что позволяет сделать вывод о действии процессов со скоростями разных порядков. Анализируется локальная динамика сингулярно возмущенной системы в окрестности нулевого состояния равновесия. Характеристическое уравнение линеаризованной задачи при значениях параметров, близких к критическим, имеет асимптотически большое число корней с близкой к нулю вещественной частью. Для изучения происходящих в системе бифуркаций используется метод построения специальных нормализованных уравнений для медленных амплитуд, которые описывают поведение близких к нулю решений исходной задачи. Важной особенностью этих уравнений является то, что от малого параметра они не зависят. Структура корней характеристического уравнения и порядок надкритичности определяют вид нормальной формы, которая может быть представлена уравнением в частных производных. В роли «пространственной» переменной выступает «быстрое» время, для которого выполняются условия периодичности. Отмечается высокая чувствительность динамических свойств нормализованных уравнений к изменению малого параметра, что является признаком возможного неограниченного процесса прямых и обратных бифуркаций. Также некоторые построенные уравнения обладают свойством мультистабильности.

На основе модифицированного асимптотического метода пограничных функций и асимптотического метода дифференциальных неравенств исследуется вопрос о существовании устойчивых по Ляпунову стационарных решений с внутренними слоями уравнения нелинейной теплопроводности в случае нелинейной зависимости мощности тепловых источников от температуры. Обсуждаются основные условия существования таких решений, построение асимптотического приближения решения произвольного порядка точности, алгоритм определения положения поверхности перехода, в окрестности которой локализован внутренний слой контрастной структуры, и обоснование формальных построений. Основная трудность связана с описанием поверхности перехода. Предлагается эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, который развивает наш подход в описании многомерных задач на более сложный случай сбалансированной нелинейности. Результат может быть использован для создания численного алгоритма, основанного на применении асимптотического анализа с целью построения пространственно-неоднородных сеток при описании внутреннего слоя решения. В качестве иллюстрации рассматривается задача на плоскости, которая позволяет визуализировать численные расчеты. Сравниваются численные и асимптотические решения нулевого порядка при различных значениях малого параметра.

Рассмотрена периодическая краевая задача для одной из первоначальных редакций широко известного в математической физике уравнения Курамото–Сивашинского. Изучены локальные бифуркации в окрестности пространственно однородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что потеря устойчивости однородными состояниями равновесия приводит к появлению двумерного локального аттрактора, все решения на котором, кроме одного пространственно неоднородного состояния, – периодические функции времени. Спектр частот данного семейства периодических решений заполняет всю числовую ось, и все они неустойчивы в смысле определения А.М. Ляпунова в метрике фазового пространства (пространства начальных условий) соответствующей начально-краевой задачи. В качестве фазового пространства был выбран естественный для данной краевой задачи вариант функционального пространства Соболева. Для периодических решений, заполняющих двумерный аттрактор, приведены асимптотические формулы. При анализе бифуркационной задачи были использованы методы анализа бесконечномерных динамических систем: метод интегральных (инвариантных) многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм Пуанкаре, а также асимптотические методы. При этом анализ бифуркаций для периодической краевой задачи был сведен к анализу структуры окрестности нулевого решения однородной краевой задачи Дирихле для рассматриваемого в работе уравнения.

Изучается динамика ассоциации, состоящей из трех одинаковых колебательных элементов. Структура связи между осцилляторами предполагается вещательной, т.е. один из элементов системы односторонним образом воздействует на два других, которые, в свою очередь, взаимодействуют друг с другом. Важным свойством связи между осцилляторами является наличие в ней запаздывания по времени, что, очевидным образом, часто встречается в приложениях. Изучаемая система моделирует ситуацию из популяционной динамики, когда популяции слабо связаны между собой, например, разделены географически. При этом одна из популяций может влиять на обе оставшиеся, которые в свою очередь способны влиять друг на друга, но не влияют на первую. Каждый отдельный осциллятор представлен логистическим уравнением с запаздыванием (уравнением Хатчинсона). В работе выполнен локальный асимптотический анализ данной системы в случае близости параметров осцилляторов к значениям, при которых происходит бифуркация Андронова–Хопфа, кроме того, предполагаются малыми коэффициенты связи в системе. В этой ситуации к нашей задаче применим известный метод нормальных форм, который позволяет свести изучение динамики системы в некоторой окрестности единичного состояния равновесия к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивом интегральном многообразии. Для построенной нормальной формы найдены простейшие режимы, полученные с использованием симметрии задачи, и условия их устойчивости. С учетом полученных формул численно проанализированы фазовые перестройки, происходящие в системе. Показано, что запаздывание в цепи связи осцилляторов существенно влияет на качественное поведение решений системы.

Работа направлена на исследование решений типа фронта для нелинейной системы параболических уравнений в двумерной области. Систему можно рассматривать как математическую модель, описывающую резкое изменение физических характеристик в пространственно неоднородных средах. Система уравнений содержит малые параметры в разных степенях при дифференциальном операторе, что означает различие характерных скоростей протекания процессов для каждой из компонент. Исследование проведено с помощью методов теории контрастных структур, что позволило получить условия существования решения типа фронта, локализованного в окрестности замкнутой кривой, определить зависимость скорости фронта от времени, получить асимптотическое приближение решения нулевого и первого порядков по малому параметру. Приближенное решение позволяет подобрать параметры модели таким образом, чтобы результат соответствовал наблюдаемым процессам, объяснять и описывать особенности решений с резкими градиентами, создавать модели, обладающие устойчивыми решениями, тем самым облегчая задачу получения численных результатов. Известно, что численный эксперимент для пространственно двумерных моделей требует значительных вычислительных мощностей, применения методов параллельного программирования и не позволяет эффективно анализировать и модифицировать модели. В данной работе получено асимптотическое приближение решения, требующее обоснования, которое может быть проведено по методу дифференциальных неравенств. Метод дифференциальных неравенств в данном случае предполагает построение верхнего и нижнего решений задачи на основе асимптотики. Область применения математической модели – описание автоволновых решений в задачах экологии, биофизики, физики горения, химической кинетики.

Исследована сингулярно возмущенная периодическая по времени задача для параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия со слабой линейной адвекцией. Рассмотрен случай реактивного члена в виде кубической нелинейности. На основе уже известных результатов исследуется более общая постановка задачи, причем предоставляются более слабые достаточные условия для существования решения с внутренним переходным слоем, чем в предыдущих работах. Для удобства приводятся уже известные результаты, обеспечивающие выполнение теоремы существования контрастной структуры. Обоснование существования решения с внутренним переходным слоем базируется на использовании асимптотического метода дифференциальных неравенств, основанного на модификации членов построенного асимптотического разложения. Далее устанавливаются достаточные условия для выполнения указанных требований, причем они имеют простые и лаконичные формулировки в виде алгебраического уравнения w(x₀,t) = 0 и условия w_x(x₀,t) < 0, по существу являющегося условием того, что корень x₀(t) простой, и обеспечивающего устойчивость найденного решения. Функция w является функцией от известных функций, фигурирующих в реактивном и адвективном членах исходной задачи. Уравнение w(x₀,t) = 0 представляет собой задачу для нахождения нулевого приближения x₀(t) для определения области локализации внутреннего переходного слоя. Кроме того, исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову найденного периодического решения, основанная на применении метода так называемых сжимающихся барьеров. Основной результат работы сформулирован в виде теоремы.

 

Рассматривается проблема многокомпонентного расширения (2+1)D-калибровочной топологической модели Jackiw–Pi, описывающей нелинейную квантовую динамику заряженных частиц в многослойных системах Холла. Применяя размерную редукцию (2 + 1)D → (1+1)D к лагранжианам с топологическими полями Черна–Саймонса, мы построили многокомпонентные нелинейные уравнения Шредингера для частиц с учетом их взаимодействия. Используя метод Хироты, получили точное двухсолитонное решение, представляющее интерес для квантовых систем передачи информации в силу устойчивости их распространения. Асимптотический t →±∞ анализ солитон-солитонных взаимодействий показывает, что процессов обратного рассеяния нет. Мы отождествляем эти решения с краевыми (топологически защищенными) состояниями – киральными солитонами – в многослойных квантовых системах Холла. Применяя билинейную операторную алгебру Хироты и теорему тока, мы показали, что в отличие от обычных векторных солитонов динамика новых решений (киральных векторных солитонов) имеет исключительно однонаправленное движение. Статья публикуется в авторской редакции.

 

Пусть  \(n\in{\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\).  Для невырожденного симплекса
\(S\subset{\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра  тяжести  с коэффициентом \(\sigma.\)
Положим \(\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}.\)
Величину \(\xi(S)\) будем называть коэффициентом поглощения куба \(Q_n\) симплексом \(S\). В статье приводятся новые оценки для минимального коэффициента поглощения для симплекса, содержащегося в \(Q_n\), т.е. величины \(\xi_n=\min \{ \xi(S): , S\subset Q_n \}.\) Эта величина и её аналоги, в частности, имеют приложения при оценивании
норм интерполяционных проекторов. Общие оценки \(\xi_n\) были ранее получены в работах первого автора.
Всегда \(n\leq\xi_n< n+1\). Если существует матрица Адамара порядка \(n+1\), то \(\xi_n=n\).
Лучшая из известных общих оценок сверху имеет вид \(\xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\)  \((n>2)\).
Cуществует не зависящая от \(n\)  константа \(c>0\), такая что для любого симплекса \(S\subset Q_n\), имеющего максимальный объём, выполняются неравенства \(c\xi(S)\leq \xi_n\leq \xi(S)\). Это мотивиpует применение для оценивания \(\xi_n\) сверху симплексов максимального объёма в \(Q_n\). Для построения набора вершин такого симплекса могут применяться максимальный \(0/1\)-определитель порядка \(n\) или максимальный \(-1/1\)-определитель порядка \(n+1\). В работе вычисляются коэффициенты поглощения для симплексов максимального объёма, построенных с использованием специальной процедуры из известных максимальных \(-1/1\)-определителей.
Для ряда значений \(n\) c помощью этого подхода удалось понизить верхние границы \(\xi_n\), полученные теоретическим путём.
Приводятся лучшие известные оценки \(\xi_n\) cверху для \(n\leq 118\).