В настоящей  работе проведено исследование решения вида движущегося фронта  начально-краевой задачи  реакция-диффузия с малым  коэффициентом диффузии.  Задачи  в таких  постановках  можно  использовать для  моделирования физических процессов, связанных  с распространением автоволновых фронтов,  в частности  в биофизике  или  при  описании  процессов горения.  Решение  вида  фронта  – это функция, которая  характеризуется тем,  что  в области её определения  существует  подобласть,  в которой  функция обладает  большим  градиентом. Эта подобласть  называется внутренним  переходным  слоем. В нестационарном случае положение  переходного слоя изменяется со временем, что, как  известно, затрудняет численное решение задачи,  а также обоснование корректности численных расчетов.  В таком  случае необходимым компонентом исследования  является аналитический подход. В настоящей работе для аналитического исследования решения поставленной  задачи  применены асимптотические методы. В частности,  при помощи алгоритма Васильевой  построено  асимптотическое приближение  решения  в виде разложения  по степеням  малого параметра, а доказательство существования решения вида движущегося фронта проведено  при помощи асимптотического метода  дифференциальных неравенств.  Используемые методы  также позволяют  получить  уравнение,  описывающее  движение  фронта. С этой целью  в области переходного слоя осуществляется переход к локальным координатам. В настоящей  работе по сравнению  с известными  ранее  публикациями, касающимися двумерных  задач  с внутренними переходными  слоями,  метод  перехода  к  локальным координатам в окрестности  фронта  был модифицирован, что привело к упрощению алгоритма определения  уравнения  движения кривой.

Исследована   сингулярно   возмущенная   эллиптическая задача  с  граничными условиями  Дирихле  в случае  кратного  корня  вырожденного уравнения.  Возникает  трехзонный пограничный  слой с различным масштабом  погранслойных  переменных  и различным характером поведения решения в разных зонах, асимптотическое разложение решения ведется по дробным степеням  малого  параметра. Построено  и обосновано полное асимптотическое разложение решения задачи.

Рассматривается краевая задача для сингулярно  возмущённого дифференциального уравнения второго порядка в двух случаях,  в каждом из которых один из корней вырожденного уравнения  является двукратным. Доказано, что в первом случае образуется  узкий внутренний слой, в котором происходит  быстрый переход решения от двукратного корня  вырожденного уравнения к простому корню, а во втором случае  во внутреннем  слое происходит  «всплеск» решения. Такие  решения  называются соответственно  контрастной структурой типа  ступеньки  (КСТС)  и контрастной структурой типа всплеска (КСТВ). В каждом случае построено асимптотическое разложение  контрастной структуры, существенно отличающееся от известного  разложения в случае, когда  все корни  вырожденного уравнения  – простые,  в частности,  внутренний  слой оказывается многозонным.

Мы  рассматриваем нестационарный процесс  распространения некоторой  субстанции  в одномерной среде с диффузией и источниками, плотность  которых  зависит  от концентрации (так  для определенности  будем называть исследуемую величину).  Предполагается, что изменение концентрации \(u(x,t)\) в данной точке со временем \(t\) определяется разностью потоков слева и справа, а также плотностью источников, которая зависит от \(x\) и от \(u\). Такая модель приводит  к начально-краевой задаче  для квазилинейного уравнения  параболического типа, которое называют уравнением  реакции–диффузии. В частности,  наша  модель  пригодна  для  описания  нестационарного процесса передачи информации в одномерной системе объектов,  которые могут быть описаны величиной, характеризующей степень информированности о некотором событии.  Предполагается, что плотность  источников  обращается в нуль (меняя  знак)  при трех значениях  концентрации, два из которых  (крайние) являются устойчивыми, имеется  еще промежуточное неустойчивое  состояние с нулевой плотностью  источников,  в котором  тоже  имеет место перемена  знака.  Особенность нашей модели состоит в том, что мы предполагаем, что два крайних  корня функции  плотности источников являются вырожденными (с целым или дробным показателем, большим единицы). Такая модель  соответствует ситуации,  при которой  плотность  источников  в окрестности  стационарного значения  концентрации  является бесконечно  малой  величиной  более высокого  порядка, чем для стандартной модели, в которой эта величина  имеет первый порядок  малости.  Мы намерены  показать аналитически и методом компьютерного моделирования, что данная  модель приводит к тому, что скорость  асимптотического стремления  концентрации  к равновесным  значениям  для  движущегося фронта  становится  степенной вместо экспоненциальной, имеющей место для  стандартных моделей.  Построена  формальная  асимптотика решения  начально-краевой задачи  в  однородной среде  со степенной  зависимостью  плотности  источников  от концентрации, построены  верхнее  и нижнее  решения,  дано  строгое  обоснование  формальной асимптотики. Построены  точные  решения уравнения  реакции–диффузии для  широкого  класса  функций  плотности  источников.

В данной работе на примере численного решения сингулярно возмущенного уравнения  Бюргерса  мы  рассматриваем метод  построения  динамически  адаптированной сетки, который  позволяет  существенно  улучшить  численный  счет  для  уравнений  такого  типа.  Для  построения  данной сетки мы используем  априорную  информацию, основанную на асимптотическом анализе  исходной задачи.  В частности,  мы используем  информацию о скорости внутреннего  слоя, его толщине и структуре. Предложенный в работе алгоритм  способен существенным  образом упростить численную сложность  решаемой задачи  и улучшить  ее устойчивость  по сравнению с классическими  подходами,  используемыми для  решения  задач  такого  класса.  Приведенный  численный эксперимент  демонстрирует эффективность предложенного метода.

Статья публикуется в авторской  редакции.

Физические  явления,  возникающие  вблизи  границы  раздела  сред с различными характеристиками, требуют учета некоторых  особенностей при их моделировании. Необходимо учитывать тот  факт, что  на  границе  раздела  параметры окружающей среды  претерпевают  изменения.  Например,  экспериментально полученные  графики  распределения температуры среды вблизи  границы  раздела  вода-воздух  имеют излом  на границе,  поэтому  при моделировании  производная  функции  распределения температуры должна  быть  разрывной. Функция,  обладающая такой особенностью, может являться решением задачи  для уравнения  теплопроводности с разрывным коэффициентом температуропроводности и разрывной  функцией, описывающей  источники тепла.  Поскольку  коэффициент температуропроводности в переходном слое вода-воздух  является малым,  в уравнении  перед пространственной производной  возникает  малый  параметр, что делает уравнение сингулярно  возмущенным.  Решение краевой  задачи  для такого  уравнения  может  иметь вид контрастной структуры, то есть функции,  в области определения  которой  содержится подобласть,  где функция обладает  большим градиентом. Такая подобласть  называется внутренним  переходным  слоем. Из экспериментальных наблюдений  известно, что в случае перепада  температур между  водой и воздухом  (летний  день) вблизи границы  раздела  возникает  подобный переходный слой с резким изменением температуры. Существование  решения задачи с внутренним переходным слоем нуждается в обосновании,  которое  можно  провести  при помощи асимптотического анализа.  В настоящей  работе  было  проведено  подобное аналитическое исследование,  и это позволило доказать существование  решения,  а также построить  его асимптотическое приближение.

В работе  рассмотрена  начально-краевая задача для  одного сингулярно  возмущённого  параболического уравнения  с не зависящей  от малого  параметра начальной  функцией в случае,  когда  вырожденное  стационарное  уравнение  имеет  гладкие,  возможно,  пересекающиеся корни.  Ранее  было  доказано  существование  устойчивого  стационарного  решения  этой задачи и исследована  его область  притяжения     вследствие  смены устойчивости  стационарное  решение асимптотически приближается  к  некоторому  негладкому (но  непрерывному) составному  корню вырожденного уравнения  при уменьшении параметра возмущения,  а его области притяжения принадлежат все начальные функции,  находящиеся строго по одну сторону от другого негладкого  (но непрерывного)  составного корня вырожденного уравнения.  В работе показано,  что если начальная функция выходит  за границу  указанного  семейства начальных функций  вблизи некоторой  точки, то исходная  задача не имеет  решения  внутри  области  определения  переменных  задачи,  т.е.  эта граница  в действительности является границей области притяжения. Доказательство этого факта основано на идеях метода  нелинейной ёмкости.

В работе изучается  динамика одного класса одномерных кусочно-линейных  отображений  с одним  разрывом. Численными методами  отыскиваются устойчивые  состояния  равновесия,  а также иные  аттракторы. В ходе  исследования  были  разобраны два  базовых  случая,  к которым  сводятся  все остальные.  В пространстве  параметров выделены  области, отвечающие  тем или иным фазовым перестройкам. В частности,  было установлено,  что для  данного класса  функций, при условии непрерывности  на рассматриваемое отображение, не существует  ни одного набора параметров такого,  что при заданных  ограничениях на функцию  существовало  хотя  бы два аттрактора. В случае наличия  разрыва имеется бесконечно много областей, в которых сосуществуют два притягивающих цикла,  причем  если в области  существует  два притягивающих цикла,  то их периоды  отличаются ровно на единицу, и не существует  областей,  где присутствовало бы три или более аттрактора. Кроме того, было выявлено,  что при движении  в пространстве  параметров вдоль некоторой  прямой  наблюдаются устойчивые  циклы  всевозможных периодов, со следующей важной  особенностью: каждая область  содержит  ровно один или ровно два притягивающих цикла, и область, содержащая \(k\) притягивающих циклов, соседствует с областями,  содержащими \(3 − k\) притягивающих циклов,  причем наборы значений  периодов любых двух соседствующих  областей имеют ненулевое пересечение.

Рассматривается математическая модель  динамики  численности  насекомых  и предпринимается попытка  объяснения  с ее помощью классических экспериментальных результатов Николсона. В первой части работы описывается эксперимент Николсона и выбираются динамические уравнения  для его моделирования. Априорные оценки параметров модели удается  уточнить с помощью локального  анализа  динамической  системы,  который  выполнен  во втором  разделе.  В нем найдены значения  параметров, при которых потеря устойчивости состоянием равновесия задачи приводит к бифуркации устойчивого двумерного тора. Численный  счет, выполненный на основе оценок из второго раздела, позволяет  объяснить  классический эксперимент  Николсона,  развернутое теоретическое  обоснование которого дано в последнем разделе.  В нем для аттрактора системы вычислен старший  ляпуновский  показатель. Характер изменения  этого показателя при изменении коэффициента линейного роста задачи  позволяет  дополнительно  сузить  область  поиска параметров модели.  Обоснование  данного  эксперимента стало  возможным лишь  в результате сочетания аналитических и численных  методов  исследования  уравнений  динамики  популяций  насекомых. При этом аналитический подход дал возможность проводить  численный  анализ  в достаточно  узкой области пространства параметров. Попасть в эту область, исходя лишь из общих соображений, не представляется возможным.