Мы используем бесконечномерную модель Лотки–Вольтерра для анализа производства, накопления и перераспределения богатства в экономике. Мы показываем, что если объем производства по сравнению с объемом перераспределения невелик, то итоговое распределение богатства будет очень неравным. В предельном случае, все богатство будет сконцентрировано в одних руках. Личность победителя определяется его способностью производить и перераспределять богатство. Похожие исходы можно наблюдать и для некоторых физических процессов. Статья публикуется в авторской редакции.

Рассматривается асимптотическое распределение собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Это дает возможность получить асимптотики зон устойчивости и неустойчивости решений. Показано, что в отсутствие точек поворота (\(r(t)>0\)) длины зон неустойчивости стремятся к нулю с ростом их номера, а длины зон устойчивости -- к некоторой положительной величине. Ситуация, когда \(r(t)\ge 0\) и имеются нули \(r(t)\), приводит к тому, что длины зон устойчивости и зон неустойчивости имеют конечный ненулевой предел при неограниченном увеличении номера соответствующей зоны. Если же функция \(r(t)\) знакопеременна, то длины всех зон устойчивости стремятся к нулю, а длины зон неустойчивости -- к некоторым конечным величинам. Эти выводы позволили сформулировать ряд интересных критериев устойчивости и неустойчивости решений линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.

Приведенные результаты иллюстрируются содержательным примером. Методика исследования основана на детальном изучении так называемых специальных эталонных уравнений и последующем сведении исходных уравнений к тому или иному виду эталонных уравнений. При этом используются асимптотические методы теории сингулярных возмущений, а также известные свойства ряда специальных функций.

В настоящей работе рассматривается многомерная сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения эллиптического типа, называемого в приложениях стационарным уравнением реакция-диффузия-адвекция. Формулируются основные условия существования решений с внутренними переходными слоями (контрастных структур) и строятся асимптотические приближения произвольного порядка точности таких решений. Применяется эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, позволяющий распространить наш подход на более сложный случай сбалансированных адвекции и реакции (так называемый критический случай). Для обоснования построений асимптотики используется и развивается на этот класс задач асимптотический метод дифференциальных неравенств, позволяющий также установить устойчивость по Ляпунову решений с внутренними переходными слоями как стационарных решений соответствующих параболических задач.

Рассматривается проблема ускорения итерационного процесса численного решения методом коллокаций и наименьших невязок (КНН) краевых задач для уравнений с частными производными (PDE). Для решения этой проблемы впервые предложено комбинированно приме- нять одновременно три способа ускорения итерационного процесса: предобуславливатель, многосеточный алгоритм и коррекцию решения PDE на промежуточных итерациях в подпространстве Крылова. Исследовано влияние на итерационный процесс всех трех способов его ускорения как по отдельности, так и при их комбинировании. Показано, что каждый из указанных способов вносит свой вклад в количественный показатель ускорения итерационного процесса. При этом наибольший вклад дает применение алгоритма, использующего подпространства Крылова. Комбинированное применение одновременно всех трех способов ускорения итерационного процесса решения конкретных краевых задач позволило уменьшить время их решения на компьютере до 230 раз по сравнению со случаем, когда никакие способы ускорения не применялись. Исследован двухпараметрический предобуславливатель. Предложено находить оптимальные значения его параметров путем численного решения относительно нетрудоемкой задачи минимизации числа обусловленности модифицированной предобуславливателем системы линейных алгебраических уравнений, решаемой в методе КНН. Показано, что в многосеточном варианте метода КНН для существенного уменьшения времени решения краевой задачи достаточно ограничиться только простой операцией продолжения решения на многосеточном комплексе. Приводятся многочисленные примеры расчетов, демонстрирующие эффективность предлагаемых подходов к ускорению итерационных процессов решения краевых задач для двумерных уравнений Навье–Стокса. Указывается, что предложенная комбинация способов ускорения итерационных процессов может быть реализована также в рамках применения других численных методов решения PDE.

В работе строятся асимптотические формулы для решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением при стремлении независимой переменной к бесконечности. Особенностью рассматриваемого интегрального возмущения является колебательно убывающий характер его ядра. Предполагается, что интегральное ядро является вырожденным. Данное обстоятельство позволяет свести исходное интегро-дифференциальное уравнение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотических формул для базисных решений полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется специальный метод асимптотического интегрирования линейных динамических систем с колебательно убывающими коэффициентами. В результате серии специальных преобразований система обыкновенных дифференциальных уравнений приводится к так называемому L-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы L-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона. Полученные асимптотические формулы позволяют выявить так называемые резонансные частоты, т. е. частоты колебательной составляющей ядра, при которых у исходного интегро-дифференциального уравнения имеются неограниченные решения. Как оказывается, эти частоты несколько отличаются от резонансных частот в адиабатическом осцилляторе с синусоидальной колебательной составляющей убывающего во времени возмущения.

Рассматривается математическая модель синаптического взаимодействия пары импульсных нейронных элементов. Моделью каждого из отдельных нейронов является сингулярно возмущенное дифференциально-разностное уравнение с запаздыванием. Связь между элементами предполагается пороговой, кроме того, в ней учитывается запаздывание по времени. Изучаются вопросы о существовании и устойчивости в полученных системах релаксационных периодических движений. Как оказалось, принципиальным является соотношение между запаздыванием, обусловленным внутренними факторами в модели одиночного импульсного нейрона, и запаздыванием в цепи связи между осцилляторами. При условии, что запаздывание в цепи связи меньше, чем обусловленный внутренним запаздыванием период колебаний уединенного осциллятора, доказывается существование и устойчивость однородного цикла задачи. Увеличение запаздывания приводит к усложнению синфазного режима, в частности, показано, что за счет подходящего выбора этой величины релаксационные колебания в изучаемой системе могут усложняться и на промежутке периода система может иметь не один, а несколько всплесков большой амплитуды. Это означает, что bursting-эффект может возникать в системе из двух синаптически связанных осцилляторов нейронного типа за счет запаздывания в цепи связи.

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\). Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через \(\sigma S\) обозначается результат гомотетии \(S\) относительно центра тяжести с~коэффициентом гомотетии \(\sigma\). Под \(\xi(S)\) понимается минимальное \(\sigma>0\), такое что \(Q_n\subset \sigma S\). Через \(\alpha(S)\) обозначается минимальное \(\sigma>0\), при котором \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\). Через \(d_i(S)\) обозначается \(i\)-й осевой диаметр \(S\), представляющий собой максимальную длину отрезка, принадлежащего \(S\) и параллельного \(i\)-й координатной оси. Формулы для \(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\) были ранее доказаны первым автором. Положим \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \) Всегда \(\xi_n\geq n.\) Обсуждаются некоторые гипотезы, сформулированные в предыдущих работах. Одной из них является следующее утверждение. Для любого \(n\) существует константа \(\gamma>0\), не зависящая от \(S\subset Q_n\), с которой выполняется неравенство \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).\) Минимальное \(\gamma\) c таким свойством обозначается через \(\varkappa_n\). Доказывается, что \(\varkappa_1=\frac{1}{2}\) и при \(n>1\) справедливо \(\varkappa_n\geq 1\). Если \(n>1\) и \(\xi_n=n,\) то \(\varkappa_n=1\). Равенство \(\xi_n=n\) выполняется, если \(n+1\) --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Последнее утверждение известно; приводится ещё одно его доказательство, непосредственно использующее матрицы Адамара. %Полученная ранее общая оценка \(n\leq \xi_n\leq \frac{n^2-3}{n-1}\) %для \(n=5\) даёт \(5\leq \xi_5\leq 5.5\). Доказывается, что \(\xi_5=5\). Таким образом, существуют такие \(n\), для которых \(n+1\) не является числом Адамара и, тем не менее, \(\xi_n=n\). Минимальное \(n\) с таким свойством равно \(5\). Это влечёт \(\varkappa_5=1\) и %Равенство \(\xi_5=5\) опровергает гипотезу о характеризации чисел Адамара в терминах гомотетии симплексов, высказанную ранее первым автором: \(n+1\) есть число Адамара тогда и только тогда, когда \(\xi_n=n.\) Последнее утверждение оказывается верным лишь в одну сторону. Существует симплекс \(S\subset Q_5\), для которого граница симплекса \(5S\) содержит все вершины куба \(Q_5\). Указывается однопараметрическое семейство симплексов, принадлежащих \(Q_5\) и обладающих свойством \(\alpha(S)=\xi(S)=5.\) Эти симплексы удаётся найти с помощью комбинации численных и~символьных вычислений. Новым результатом является неравенство \(\xi_6\

При изучении кусочно-полиномиальных приближений в пространствах \(L_p,\;\) \( 0~<~p~<~1,\) автором было рассмотрено распространение \(k\)-й производной (оператора) с соболевских пространств \( W_1^k \) на пространства, являющиеся в определённом смысле их преемниками и имеющие нижний индекс меньше единицы. Данная статья продолжает работы автора по исследованию свойств, обретаемых оператором дифференцирования \(\Lambda\) при распространении его за границы пространства \(W_1^1\)
$$
\Lambda~:~W_1^1~\mapsto~L_1,\; \Lambda f = f^{\;'}
$$. Исследования проводятся с помощью введения семейства пространств \(Y_p^1,\; 0~<~p~<~1,\)( имеющего аналогию с семейством )\(W_p^1,\; 1~\le~p~<~\infty.\) Пространства \(Y_p^1\) снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм соответствующих пространств \(L_p,\) и для них выполняется \(\; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p\). Такой подход даёт новый взгляд на свойства производной. Например, была показана аддитивность относительно интервала продолженного оператора дифференцирования:
$$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$
Здесь для функции \(f_n,\) заданной на \([x_{n-1};x_n],\; a~=~x_0 < x_1 < \cdots < x_m~=~b,\) определено \(\Lambda (f_n).\)
Одной из наиболее важных характеристик линейного оператора является состав ядра. При распространении оператора дифференцирования с пространства \(C^1\) на пространства \(W_p^1\) его ядро не изменяется. В статье конструктивно показано, что функции скачков и сингулярные функции \(f\) принадлежат всем пространствам \( Y_p^1,\) и для них \(\Lambda f =0.\) Следовательно, пространство функций ограниченной вариации \(H_1^1\) содержится в каждом \(Y_p^1,\) и оператор \(\Lambda\) на \(H_1^1\) удовлетворяет соотношению \(\Lambda f = f^{\;'}.\) Также приходим к выводу, что сингулярной логично назвать каждую функцию из добавленной части ядра.