Рассматривается сингулярно возмущенная эллиптическая задача с граничными условиями Дирихле в случае кратного корня вырожденного уравнения. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение решения задачи. Оно качественно отличается от известного разложения в случае, когда корень вырожденного уравнения – простой: асимптотическое разложение решения ведется по дробным степеням малого параметра, погранслойные переменные имеют другой масштаб, погранслойный ряд строится с помощью нестандартного алгоритма, пограничный слой вблизи границы области состоит из трех зон с различным поведением решения в разных зонах.

Изложены современные численные методы, позволяющие наиболее эффективно рассчитывать задачи с контрастными структурами. К ним относятся явно-неявные схемы Розенброка с комплексными коэффициентами и чисто неявные оптимальные обратные схемы Рунге-Кутты. В качестве аргумента целесообразно выбирать длину дуги интегральной кривой. Этот аргумент обеспечивает высокую надежность расчета и существенно снижает трудоемкость для систем уравнений невысокого порядка. Для повышения экономичности предложен алгоритм автоматического выбора шага по кривизне интегральной кривой. Этот алгоритм не уступает стандартным алгоритмам по экономичности, но существенно превосходит их по надежности. Показано, что при этом можно одновременно вычислять апостериорную асимптотически точную оценку погрешности методом Ричардсона. Стандартные алгоритмы автоматического выбора шага не могут дать таких оценок, а фактическая погрешность у них нередко на много порядков превышает заданную пользователем. Исследованы границы применимости численных методов. При решении задач сверхвысокой жесткости они могут не дать удовлетворительного ответа; в этих случаях следует переходить к приближенным аналитическим методам. Таким образом, численные и асимптотические методы являются взаимно дополняющими.

В данной статье рассматривается численное решение системы вихревых уравнений Максвелла для кусочно-однородной диэлектрической среды на примере одномерной задачи. Для обеспечения второго порядка точности необходимо поставить узел сетки электрического поля в точку разрыва диэлектрической проницаемости. Если скачок проницаемости велик, то задача становится сингулярно возмущенной и возникает контрастная структура. Построена кусочная квазиравномерная сетка, детально передающая все характерные участки решения этой задачи (регулярную область, пограничный слой и переходную зону между ними). Обсуждаются свойства этой сетки.

Работа посвящена исследованию динамических свойств решений краевых задач, связанных с классической системой Ферми – Паста – Улама (ФПУ). При исследовании локальной динамики этих задач может реализовываться критический случай бесконечной размерности. В этих условиях построено специальное нелинейное уравнение с частными производными, которое играет роль квазинормальной формы, т.е. определяет в главном поведение всех решений исходной краевой задачи с начальными условиями из достаточно малой окрестности состояния равновесия. В зависимости от значений параметров в качестве квазинормальных форм выступают модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (КДВ) и уравнение Кортевега – де Вриза – Бюргерса (КДВБ). При некоторых дополнительных предположениях к полученным краевым задачам применена процедура повторной нормализации, приводящая к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описан способ сворачивания этой системы в краевую задачу – аналог нормальной формы. Построенные квазинормальные формы позволяют судить о динамике задачи ФПУ. Основной результат работы состоит в том, что аналитическими методами нелинейной динамики изучен вопрос о взаимодействии волн, движущихся в разных направлениях, в задаче ФПУ. При рассмотрении так называемых регулярных решений описано влияние волн друг на друга, которое задается специальным интегральным соотношением. Показано, что это влияние является асимптотически малым и не меняет форму волн, внося вклад только в их скоростной сдвиг, который не меняется по времени.

Важной частью развития современной биофизики является создание адекватных математических моделей процессов в живой природе. Процессы свертывания крови, распространения нервного импульса, сокращение сердечной мышцы, формирования структур в живой природе относятся к типу автоволновых. Для описания автоволновых процессов в активных средах часто применяется система уравнений ФитцХью–Нагумо. При решении соответствующей математической задачи стандартно используются численные методы. Но автоволновые решения с резкими градиентами требуют применения ресурсоемких алгоритмов. Задачи такого типа целесообразно исследовать аналитическими методами. В данной работе для получения приближенного решения сингулярно возмущенной системы типа ФитцХью-Нагумо применяется асимптотический метод теории контрастных структур. Метод позволяет редуцировать нелинейную систему уравнений к ряду задач, которые решаются аналитически или устойчивыми численными алгоритмами. В работе получено асимптотическое приближение стационарного автоволнового решения нелинейной системы и определена формула, задающая локализацию внутренних переходных слоев. Для оценки результатов проведено сравнение с численным решением. Описанное в работе применение теории контрастных структур к исследованию моделей активных сред может быть использовано для аналитического исследования других подобных систем, совершенствования имеющихся моделей и повышения эффективности численных расчетов.

Для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения с возмущающим параметром ε при старшей производной, ε ∈ (0, 1], рассматривается начально-краевая задача на отрезке с условием Неймана на границе. В этой задаче, когда параметр ε стремится к нулю, в окрестностях боковой границы появляются пограничные слои. В работе исследуется сходимость решения и его регулярной и сингулярной компонент. Показано, что стандартные разностные схемы на равномерных сетках, используемые для численного решения этой задачи, не сходятся ε-равномерно. Ошибка сеточного решения неограниченно растет, когда параметр ε → 0. Использование специальной разностной схемы на сетке Шишкина — кусочно-равномерной по x сетке, сгущающейся в окрестностях пограничных слоев, и равномерной по t, построенных с использованием монотонных сеточных аппроксимаций дифференциальной задачи — позволяет найти численное решение этой задачи, сходящееся в равномерной норме ε-равномерно. Результаты численных экспериментов подтверждают теоретические результаты.

Для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с возмущающим параметром ε², ε ∈ (0,1], при старшей производной рассматривается начально-краевая задача Дирихле. Для этой задачи исследуется стандартная разностная схема, построенная на основе монотонных сеточных аппроксимаций задачи на равномерных сетках, при наличии компьютерных возмущений. Исследуются возмущения сеточных решений, порождаемые компьютерными возмущениями, то есть вычислениями на компьютере. Получены условия, накладываемые на допустимые компьютерные возмущения, при которых точность возмущенного компьютерного решения по порядку такая же, как у решения невозмущенной разностной схемы, то есть стандартной схемы при отсутствии возмущений. Такого типа схемы с контролируемыми компьютерными возмущениями относятся к компьютерным разностным схемам, называемым также надежными разностными схемами.

В работе рассматриваются некоторые сингулярно возмущённые задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения (этот случай называют также случаем «смены устойчивости»). Такие задачи нередко встречаются в качестве моделей химической кинетики. Имеется уже немало работ, в которых устанавливается существование и асимптотическое поведение решений задач рассматриваемого класса. Типичное решение вследствие смены устойчивости приближается к негладкому (но непрерывному) составному корню вырожденного уравнения по мере уменьшения параметра возмущения. При этом в ряде задач регулярная компонента возмущения доминирует над сингулярной, что требует дополнительного условия на регулярную компоненту, обеспечивающего устойчивость составного корня в окрестности точки пересечения. Замена этого условия на противоположное приводит к отсутствию или разрушению решения задачи при достаточно малом значении параметра возмущения. В работе доказываются некоторые результаты такого рода с применением метода нелинейной ёмкости и обсуждается их роль в разработке вычислительных алгоритмов для рассматриваемого класса задач.

Напомним, что сингулярная функция Лебега \(L(t)\) определяется как единственное решение уравнения
$$
L(t) = qL(2t) +pL(2t-1),
$$
где \(p,q>0, q=1-p, p\ne q\).
Моментами функции \(L(t)\) будем называть величины
$$
M_n = \int_0^1t^n dL(t), \quad n = 0, 1, \dots
$$
Основной результат настоящей работы
$$
M_n =
n^{\log_2 p} e^{-\tau(n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right),
$$
где функция \(\tau(x)\) является периодической от \(\log_2x\) с периодом 1 и задается как
$$
\tau(x) =
\frac12\ln p + \Gamma'(1)\log_2 p +\frac1{\ln 2}\frac{\partial}{\partial z}\left.Li_{z}\left(-\frac{q}{p}\right)\right|_{z=1}
\\
+\frac1{\ln 2}\sum_{k\ne0}
\Gamma(z_k)Li_{z_k+1}\left(-\frac{q}{p}\right) x^{-z_k},
$$
$$
z_k = \frac{2\pi ik}{\ln 2}, \ \ k\ne 0.
$$
Доказательство основано на применении пуассонизации и преобразования Меллина.

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\) --- \(n\)-мерный
единичный куб. Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через
\(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра тяжести \(S\)
с~коэффициентом гомотетии \(\sigma\). В работе рассматриваются следующие числовые характеристики симплекса. Обозначим через \(\xi(S)\) минимальное \(\sigma>0\), такое что \(Q_n\subset \sigma S\). Через \(\alpha(S)\) обозначим минимальное \(\sigma>0\), при котором \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\).
Пусть \(d_i(S)\) --- \linebreak \(i\)-й осевой диаметр \(S\), т.\,е. максимальная длина отрезка, принадлежащего \(S\) и параллельного \(i\)-й координатной оси. Применяются формулы для вычиcления \(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\), полученные ранее первым автором. В~статье рассматривается случай \(S\subset Q_n\).

Пусть \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \)
В работах первого автора была сформулирована гипотеза: если \(\xi(S)=\xi_n\), то \(\alpha(S)=\xi(S)\). Это утверждение было доказано им для \(n=2\) и~случая, когда \(n+1\) --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Более сильным утверждением является следующая гипотеза: для любого \(n\) существует константа \(\gamma \geq 1\), не зависящая от \(S\subset Q_n\), с которой выполняется неравенство \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).\)
Минимальное \(\gamma\) c этим свойством обозначается через \(\varkappa_n\).
Если \(n+1\) --- число Адамара, то точное значение \(\varkappa_n\) равно 1.
Существование \(\varkappa_n\) для других \(n\) было неясным. В работе с помощью компьютерных методов устанавливается, что $$\varkappa_2 = \frac{5+2\sqrt{5}}{3}=3.1573\ldots $$
Доказывается новая оценка
$$\xi_4\leq \frac{19+5\sqrt{13}}{9}=4.1141\ldots,$$
улучшающая прежний результат \(\xi_4\leq \frac{13}{3}=4.33\ldots\)
Высказывается предположение, что \(\xi_4\) в точности равно
\(\frac{19+5\sqrt{13}}{9}\). Использование этого значения в компьютерных вычислениях даёт значение
$$\varkappa_4 = \frac{4+\sqrt{13}}{5}=1.5211\ldots$$

Пусть \(\theta_n\) --- минимальная величина нормы интерполяционного проектора на пространство линейных функций \(n\) переменных как оператора из \(C(Q_n)\) в \(C(Q_n)\). Известно, что при любом \(n\)
$$\xi_n\leq \frac{n+1}{2}\left(\theta_n-1\right)+1,$$
причём для \(n=1,2,3,7\) в этом соотношении достигается равенство.
Применение компьютера даёт результат \(\theta_4=\frac{7}{3}\).
Отсюда следует, что минимальное значение \(n\), при котором в последнем соотношении выполняется строгое неравенство, равно 4.

В работе дан и обоснован метод прямого вычисления универсального (расслоенного) произведения в категории коммутативных ассоциативных алгебр конечного типа с единицей над полем. Поле коэффициентов не предполагается алгебраически замкнутым и может иметь любую характеристику.
Формирование расслоенного произведения коммутативных ассоциативных алгебр составляет алгебраическую сторону процедуры склеивания алгебраических схем по некоторому отношению эквивалентности в алгебраической геометрии. Если исходные алгебры являются конечномерными векторными пространствами, то размерность их расслоенного произведения подчиняется формуле, аналогичной формуле размерности суммы подпространств. Геометрически конечномерный случай поставляет строгую версию объединения двух наборов точек, имеющих общую часть. Метод использует задание алгебр образующими и определяющими соотношениями на входе и выдает аналогичное представление произведения на выходе. Он пригоден для компьютерной реализации.
Произведение алгебр определено корректно: выбор иных представлений тех же алгебр приводит к изоморфной алгебре-произведению.
Также показано, что алгебра-произведеное обладает свойством универсальности, т.е. является настоящим расслоенным произведением. Входные данные -- это тройка алгебр и пара гомоморфизмов
\(A_1\stackrel{f_1}{\to}A_0\stackrel{f_2}{\leftarrow}A_2\). Алгебры и гомоморфизмы могут быть заданы произвольным образом. Показано, что для вычисления расслоенного произведения достаточно ограничиться случаем, когда гомоморфизмы \(f_i,i=1,2\) сюръективны, и описан способ редукции к сюръективному случаю. Также рассмотрено правило выбора образующих и соотношений для исходных алгебр.

Статья публикуется в авторской редакции.

В работе строятся асимптотические формулы для решений одного линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием при стремлении независимой переменной к бесконечности. Следует отметить две особенности, касающиеся рассматриваемого уравнения. Во-первых, коэффициент этого уравнения имеет колебательно убывающий вид. Во-вторых, при нулевом запаздывании это уравнение переходит в так называемое одномерное уравнение Шредингера с нулевой энергией и потенциалом типа Вигнера–фон Неймана. Динамика решений последнего хорошо известна. В этой связи интерес представляет вопрос о том, как изменяется характер поведения решений этого уравнения в качественном и количественном отношении при введении в эту динамическую модель запаздывания. Рассматриваемое уравнение интересно также и с позиции теории колебаний решений функционально-дифференциальных уравнений. Используемая в работе методика асимптотического интегрирования опирается на идеологию теории центральных многообразий в ее изложении применительно к системам функционально-дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Суть метода сводится к построению так называемого критического многообразия в фазовом пространстве динамической системы. Это многообразие является притягивающим и положительно инвариантным, а значит, динамика всех решений исходного уравнения определяется динамикой решений на критическом многообразии. Система, описывающая динамику решений на критическом многообразии, представляет собой линейную систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотики решений этой системы используются усредняющие замены переменных и замены, позволяющие диагонализировать переменные матрицы. В результате подобных преобразований система на критическом многообразии приводится к так называемому L-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы L-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона.

Статья посвящена анализу сетей, состоящих из обобщенных нейронных элементов. В первой части статьи предлагается новая нейросетевая модель — модифицированная сеть обобщенных нейронных элементов (МОНЭ-сеть). Данная сеть является развитием модели отдельного нейрона — обобщенного нейронного элемента, формальное описание которого содержит некоторые недостатки. В модели МОНЭ-сети эти недостатки преодолеваются. Нейронная сеть вводится сразу целиком, без предварительного описания модели одного нейронного элемента и способа взаимодействия таких элементов между собой. Описание нейросетевой математической модели упрощено и позволяет сравнительно легко построить на ее основе имитационную модель для проведения численных экспериментов. Модель МОНЭ-сети носит универсальный характер, объединяя свойства сетей, состоящих из нейронов-автогенераторов и нейронов-детекторов. Во второй части статьи доказывается эквивалентность функционирования двух рассмотренных нейронных сетей: сети, состоящей из классических обобщенных нейронных элементов, и МОНЭ-сети. Вводится определение эквивалентности функционирования обобщенного нейронного элемента и МОНЭ-сети, состоящей из одного элемента. Затем вводится определение эквивалентности функционирования двух нейронных сетей в целом. Устанавливается соответствие различных параметров двух рассматриваемых нейросетевых моделей. Обсуждается вопрос согласования начальных условий двух рассматриваемых нейросетевых моделей. Доказывается теорема об эквивалентном функционировании этих моделей. Данная теорема позволяет перенести все полученные ранее результаты для сетей обобщенных нейронных элементов на класс модифицированных сетей.