Рассматриваются сингулярно возмущенные задачи с точкой поворота, решения которых имеют внутренний слой. Представлены подходящие для таких задач два типа адаптированных к слою сеток. Для обоих типов даны равномерные оценки погрешности в ε-весовой энергетической норме для конечных элементов высокого порядка. В целях сравнения этих сеток и подтверждения теоретических выводов использованы численные эксперименты.
Статья публикуется в авторской редакции.

Для сингулярно возмущённой параболической задачи с краевыми условиями Дирихле построено и обосновано асимптотическое разложение периодического по времени решения с пограничными слоями вблизи концов отрезка в случае, когда вырожденное уравнение имеет двукратный корень. Поведение решения в пограничных слоях и сам алгоритм построения асимптотики существенно отличаются от случая однократного корня вырожденного уравнения. Исследован также вопрос об устойчивости периодического решения и области его притяжения.

Выведены уравнения эволюции решения типа контрастной структуры обобщен-
ного уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова (ОКПП) с малым параметром при старших производных. Уравнение ОКПП относится к классу псевдопараболических уравнений и описывает разнообразные процессы в физике, химии, биологии, в частности процессы генерации магнитного поля в турбулентной среде, движение фронта концентрации носителей в полупроводниках. Найдена форма и скорость перемещения внутреннего переходного слоя (ВПС). Построен и строго обоснован алгоритм адаптивной сетки (АС) для эффективного численного решения начально-краевой задачи для уравнения ОКПП с движущимся ВПС. Построен алгоритм АС для случая наличия особой точки первого рода, т.е. точки с нулевой скоростью дрейфа ВПС в первом порядке формального асимптотического ряда. Сформулированы достаточные условия того, что ВПС пересекает особую точку за конечное время. Построен алгоритм АС для случая наличия особой точки второго рода, т.е. точки с формально бесконечно большой скоростью дрейфа ВПС в первом порядке. Дано обоснование на основе метода дифференциальных неравенств, построены верхнее и нижнее решение, представлены результаты численного счета.

Рассматривается модельная краевая задача для стационарного сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция, возникающая при описании процессов переноса газовой примеси в экосистеме 컈лес–болотоо. Применение метода пограничных функций и
асимптотического метода дифференциальных неравенств позволяет построить асимптотику решения погранслойного типа, доказать существование решения с такой асимптотикой и его асимптотическую устойчивость по Ляпунову, как стационарного решения соответствующей параболической задачи с определением локальной области формирования решения погранслойного типа. Последнее имеет определенное прикладное значение, т.к. позволяет выявить решение, описывающее одно из наиболее вероятных состояний экосистемы. В заключительной части работы обсуждаются достаточные условия существования решений с внутренними переходными слоями (контрастных структур).

Рассмотрена задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-
диффузии с постоянными коэффициентами в прямоугольнике в случае, когда конвекция параллельна горизонтальным сторонам прямоугольника и направлена в сторону правой границы, а на левой границе первая производная граничной функции разрывна. При этих условиях решение задачи имеет регулярный пограничный слой в окрестности правой границы, два характеристических пограничных слоя около верхней и нижней границы и горизонтальный внутренний слой, возникающий из-за малой гладкости граничной функции. Показано, что на кусочно равномерных сетках Шишкина, сгущающихся около регулярного и характеристических слоев, решение, получаемое по классической пятиточечной разностной схеме с направленной разностью, равномерно по малому параметру сходится к решению исходной задачи в сеточной норме максимум модуля почти с первым порядком, а именно с той же скоростью, что и при гладкой граничной функции. Представлены численные результаты, подтверждающие теоретическую оценку. Также показано, что в случае задачи с преобладающим внутренним слоем кусочно равномерная сетка Шишкина, сгущающаяся около внутреннего слоя, дает уменьшение ошибки и сходимость с первым порядком.
Статья публикуется в авторской редакции.

В работе рассматривается процесс локализации пластической деформации в композитном материале, состоящем из сваренных стальной и медной пластины при сдвиговых деформациях. Сформулирована математическая модель данного физического процесса. Для проведения вычислительных экспериментов предложен новый численный алгоритм, основанный на схеме Куранта–Изаксона–Риса. Данный алгоритм верифицирован на трех тестовых задачах. Его работоспособность и эффективность подтверждена в результате проведенных тестов. С использованием предложенного алгоритма проведено численное моделирование процессов локализации пластической деформации в композитных материалах. Исследовано влияние граничных условий, начальной скорости пластической деформации и ширины материалов, входящих в композитный блок, на процесс локализации. Показано, что на начальном этапе скорость сдвига слоев материала колеблется. Предложены теоретические оценки частоты и периода колебаний, расчеты по которым полностью согласуются с численным экспериментом. Установлено, что деформация локализуется в медной части композита. В зависимоcти от ширины стальной и медной части, а также начальной скорости пластической деформации и выбранного типа граничных условий, возникает одна или две области локализции, расположенные на характерном расстоянии от границ. Показана зависимость данного расстояния от начальной скорости пластической деформации, и получены соответствующие оценки для двух типов граничных условий. Установлено, что при возникновении двух областей локализации в одной из них температура и деформация растет существенно быстрее, чем в другой, тогда как на начальном этапе данные величины совпадают в этих областях.

Нелинейные уравнения типа конвекции–диффузии с нелинейными источниками встречаются при описании многих процессов и явлений в физике, механике и биологии. В работе рассматривается семейство нелинейных дифференциальных уравнений, являющееся редукцией к переменным бегущей волны для нелинейного уравнения конвекции–диффузии с полиномиальными источниками. Исследуется вопрос о построении общего аналитического решения данного уравнения. Рассмотрены как стационарный, так и не стационарный случаи при учете и без учета конвекции. Для построения аналитических решений используется подход, основанный на применении нелокальных преобразований, обобщающих преобразования Зундмана. Показано, что в стационарном случае без учета конвекции общее аналитическое решение может быть найдено без ограничений на параметры уравнения и выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Поскольку в общем случае данное решение имеет громоздкий вид, найдены ограничения на параметры, при которых оно имеет простой вид, и в явном виде построены соответствующие аналитические решения. Показано, что в нестационарном случае, как при учете конвекции, так и в случае её отсутствия, общее решение исследуемого уравнения может быть построено при некоторых ограничениях на параметры. С этой целью использованы недавно полученные критерии интегрируемости для уравнений типа Льенара. Соответствующие общие аналитические решения исследуемого уравнения, выраженные через показательные или эллиптические функции, построены в явном виде.

Исследование решений начально-краевых задач для параболических уравнений является важной составляющей математического моделирования. Особый интерес для математического моделирования представляют краевые задачи, решения которых претерпевают резкое изменение в какой-либо области пространства. Такие области называются внутренними переходными слоями. В том случае, если положение переходного слоя изменяется со временем, решение параболической задачи имеет вид движущегося фронта. При доказательстве существования у начально-краевых задач решений такого вида весьма эффективным оказывается метод дифференциальных неравенств, согласно которому для данной краевой задачи строятся так называемые верхнее и нижнее решения. Суть асимптотического метода дифференциальных неравенств заключается в том, чтобы получать верхнее и нижнее решения как модификации асимптотических представлений решений краевых задач. Существование верхнего и нижнего решений является достаточным условием существования решения краевой задачи. В ходе проверки выполнения дифференциальных неравенств существенным оказывается так называемое условие квазимонотонностии. В настоящей работе рассмотрено, каким образом можно построить верхнее и нижнее решения для системы параболических уравнений при различных условиях квазимонотонности.

В данной работе проведен анализ плоского неизотермического стационарного течения аномально вязкой жидкости в каналах с несимметричными граничными условиями и неизвестной границей выхода. Геометрия каналов, в которых рассматривается задача, – это такие области, которые при переходе в биполярную систему координат отображаются в прямоугольники. Это существенно упрощает граничные условия, т.к. появляется возможность использовать ортогональную сетку и граничные условия задаются в ее узлах. Области такого типа часто встречаются в прикладных задачах. Граничные условия задаются следующим образом: жидкость прилипает к границам каналов, которые вращаются с разной скоростью и имеют разный радиус и температуру; кроме того, известна температура при входе в область деформации, а на границе с поверхностью материал имеет температуру поверхности; давление на входе и выходе из области обращается в нуль. Реологическая модель учитывает только аномалию вязкости. Материал несжимаемый. Данный процесс описывается системой, состоящей из уравнений неразрывности, уравнения сохранения импульса и уравнения энергии: ∇

Основной целью данной работы является представление нового аналитико-численного подхода к исследованию сингулярно возмущенных моделей типа реакция-диффузия-адвекция, решения которых содержат движущиеся внутренние переходные слои (фронты). В работе описаны некоторые методы построения динамически адаптированных сеток для эффективного численного решения задач указанного типа. Эти методы основаны на использовании априорной информации о свойствах движущегося фронта, полученной в результате асимптотического анализа. В частности, при построении сетки учитываются априорные асимптотические оценки локализации и скорости фронта, его ширина и структура. Предложенные алгоритмы позволяют существенно снизить затраты вычислительных ресурсов и повысить стабильность численного счета по сравнению с известными классическими подходами. 
Статья публикуется в авторской редакции.

Параболические сингулярно возмущенные задачи активно исследуются в последние годы в связи с большим количеством практических применений: химическая кинетика, синергетика, астрофизика, биология и т.д. В этой работе исследуется сингулярно возмущенная периодическая задача для параболического уравнения реакция-диффузия в двумерном случае. Рассматривается случай существования внутреннего переходного слоя при несбалансированной нелинейности. Внутренний слой локализован вблизи так называемой кривой переходного слоя. Cтроится асимптотическое разложение решения и определяется асимптотика для кривой переходного слоя. Асимптотическое разложение состоит из регулярной части, внутреннего слоя и части пограничного слоя. В этой работе мы сфокусируем внимание на части внутреннего переходного слоя. С целью его описания вводится локальная система координат в окрестности кривой перехода и используются растянутые переменные. Чтобы обосновать таким образом построенную асимптотику, используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Верхнее и нижнее решения строятся путем достаточно сложной модификации асимптотического разложения решения. Асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову доказывается с помощью метода сужающихся барьеров. Этот метод базируется на принципе дифференциальных неравенств, и в нем используются верхнее и нижнее решения, которые экспоненциально стремятся к решению задачи. Как результат, решение является локально единственным.
Статья публикуется в авторской редакции.

Рассматривается сингулярно возмущенная эллиптическая задача типа конвекция-диффузия в круговой области. С использованием полярных координат, простой схемы с разностями против потока и кусочно-равномерной сетки Шишкина в радиальном направлении для нее строится численный метод, который будет монотонным, поточечно точным и равномерным по параметру при некоторых ограничениях совместности. Приводятся численные эксперименты, иллюстрирующие эффективность данного численного метода в случае, когда эти ограничения не
накладываются на данные задачи.

Оценки погрешности методов конечных элементов для задач реакции-диффузии часто производятся в соответствующей энергетической норме. Однако для сингулярно-возмущённого случая такая норма не является адекватной. Перемасштабирование H1-полунормы приводит к сбалансированной норме, которая правильно отражает поведение переходного слоя.

Рассматриваются двумерные сингулярно возмущённые задачи четвертого порядка и оцениваются должным образом построенные адаптированные к слою погрешности смешанного метода в соответствующих энергетических нормах и сбалансированных нормах. Данная работа является сокращенной версией [4].

Рассматривается двухточечная краевая задача на промежутке [0,1], в которой старшая производная является дробной производной Капуто порядка 2−δ при 0 < δ < 1. Получено необходимое и достаточное условие существования и единственности решения u. Производная uꌐ этого решения оказывается абсолютно непрерывной на [0,1]. Показано, что предположение о большей регулярности ꐀ что u принадлежит C2[0,1] ꋀ накладывает довольно тонкое ограничение на данные задачи.

Интерполяция функций на основе многочленов Лагранжа получила широкое применение. Однако в случае, когда интерполируемая функция имеет области больших градиентов, применение многочленов Лагранжа приводит к существенным погрешностям. В работе предполагается, что интерполируемая функция одной переменной представима в виде суммы регулярной и погранслойной составляющих. Предполагается, что производные регулярной составляющей до определенного порядка ограничены, а погранслойная составляющая является функцией общего вида, известная с точностью до множителя, ее производные не являются равномерно ограниченными. Такое представление имеет решение сингулярно возмущенной краевой задачи. Строятся интерполяционные формулы, точные на погранслойной составляющей, получены оценки погрешности интерполяции, равномерные по погранслойной составляющей и ее производным. Исследовано применение построенных интерполяционных формул к построению формул численного дифференцирования и интегрирования функций рассматриваемого вида.