В статье изучается явление возникновения новых резонансов в гармоническом осцилляторе с переменной частотой собственных колебаний под действием колебательно убывающей во времени силы. Рассматриваемое в работе уравнение принадлежит классу адиабатических осцилляторов. Подобного рода уравнения возникают в спектральных задачах для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа Вигнера–фон Неймана. Для исследования задачи в работе используется специальный метод асимптотического интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Метод основан на использовании идей метода усреднения для упрощения исходной системы. Затем для получения асимптотических формул применяется фундаментальная теорема Н. Левинсона. Далее в работе изучается феномен параметрического резонанса, возникающего в исследуемом уравнении. Найдены резонансные частоты внешнего возмущения и установлен точечный характер параметрического резонанса. В завершении работы строится пример гармонического осциллятора с переменной частотой собственных колебаний (адиабатического осциллятора), в котором могут воз- никать отмеченные в работе резонансы.

Исследуется локальная динамика решений пространственно распределенного логистического уравнения в случае двумерного пространственного переменного. Рассмотрены два важных для приложений вида функции распределения. Показано, что критические случаи в задаче об устойчивости состоя- ния равновесия имеют бесконечную размерность. Для каждого критического случая построены специальные замены, сводящие исходную задачу к системе параболических уравнений — квазинормальной форме, поведение решений которой определяет в главном локальную динамику. Некоторые из параметров в квазинормальной форме зависят от малого параметра через разрывную функ- цию Θ(ε), которая принимает бесконечное число раз все значения из полуинтервала [0, 1) при ε → 0. Это дает бесконечное чередование прямых и обратных бифуркаций в исходной краевой задаче. Полученные результаты сравниваются с аналогичными для случая одномерного пространственного переменного. Выявлены новые бифуркационные явления, которые возникают только в случае двумерной пространственной переменной.

Рассматривается краевая задача типа «реакция–диффузия» в области, состоящей из двух прямоугольных частей, связанных между собой перемычкой. Ширина перемычки является бифуркационным параметром задачи и меняется так, что мера области сохраняется. Изучены условия возникновения хаотических колебаний и построена зависимость инвариантных характеристик аттрактора задачи от ширины перемычки. Параметр диффузии при этом выбран так, что для случая наиболее широкой перемычки (соответствует прямоугольной пространственной области) пространственно однородный цикл задачи орбитально асимптотически устойчив. За счет уменьшения ширины перемычки однородный цикл теряет устойчивость, а затем появляется пространственно неоднородный хаотический аттрактор. Для полученного аттрактора вычисляются ляпуновские экспоненты и ляпуновская размерность, при этом выяснилось, что размерность растет с уменьшением параметра, но лишь до некоторого предела. Показано, что увеличение размерности связано с усложнением распределения по пространственной переменной устойчивых режимов системы.

В работе представлен аналитический обзор конференции, посвященной памяти крупного ученого, блестящего профессора, выдающегося просветителя Сергея Петровича Капицы, проводившейся в ноябре 2012 года. В центре внимания участников этого форума находились проблемы самоорганизации и парадигма сетевых структур. Обсуждалось использование сетей в контексте национальной обороны, экономики, управления массовым сознанием. Огромную роль сегодня играет анализ нейронных сетей в технических системах, в структуре мозга, в пространстве знаний, информации, поведенческих стратегий. Одной из целей конференции было «сложить» сетевое сообщество в России и выделить наиболее перспективные направления в данном проблемном поле. Некоторые из них представлены в этом аналитическом обзоре.

Пусть S — невырожденный симплекс в Rⁿ. Обозначим через α(S) минимальное σ > 0 такое, что единичный куб Q_n := [0, 1]ⁿ принадлежит трансляту σS. В случае α(S) ≠ 1 транслят α(S)S, содержащий Qn, есть образ S при гомотетии с центром в некоторой точке x ∈ Rⁿ . В статье получена следующая формула для вычисления x. Обозначим через x (j) (j = 1, . . . , n + 1) вершины S. Пусть A — матрица порядка n + 1, строки которой содержат координаты x (j) ; последний столбец A состоит из 1. Предположим, что A¯¹ = (l_ij). Тогда координаты x суть числа

xk = Pn+1 j=1 ( Pn i=1 |lij |) x (j) k − 1 Pn i=1 Pn+1 j=1 |lij | − 2 (k = 1, . . . , n).

В силу условия α(S) ≠ 1 знаменатель, стоящий в правой части этого равенства, отличен от нуля. Приводятся также оценки для норм проекторов при линейной интерполяции непрерывных функций, заданных на Q_n.

Рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием в цепи обратной связи и периодическим возмущением параметров. Параметры задачи (коэффициент линейного роста и запаздывание) выбраны близкими к критическим значениям, при которых от состояния равновесия уравнения ответвляется цикл. Далее предполагается, что эти величины имеют двухчастотную зависимость от времени, причем частоты воздействия близки к удвоенной частоте собственных колебаний задачи. При указанных предположениях и при условии малости величины надкритичности выполняется асимптотический анализ, который приводит к двумерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической линейной частью. При условии, что параметр, характеризующий расстройку частот внешнего воздействия, велик или мал к полу- ченной системе могут быть применены стандартные асимптотические методы. Если же это не так, выполняется численный анализ. На его основе были выяснены основные сценарии фазовых перестроек, найдена область хаотических колебаний. Основной вывод состоит в том, что динамика в случае параметрического резонанса при двухчастотном возмущении принципиально сложнее по сравнению с динамикой в случае одночастотного возмущения.

В настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых степени 2, 3 и 4 на гладком трехмерном многообразии Фано X, являющемся линейным сечением грассманиана G(1, 4) прямых пространства P⁴, вложенного в пространство P⁹ по Плюкеру. Мы доказываем, что эти семейства являются неприводимыми многообразиями. Доказательство неприводимости семейств рациональных кривых степени d основано на исследовании вырождения раци- ональной кривой степени d в кривую, распадающуюся на неприводимую рациональную кривую степени d − 1 и прямую, пересекающиеся трансверсально в одной точке. Доказывается, что схема Гильберта кривых степени d на X неособа в точке, соответствующей такой приводимой кривой. Затем вычисления в рамках теории деформации показывают, что такая кривая варьируется в гладкую рациональную кривую степени d. Тем самым, множество приводимых кривых степени d вышеуказанного типа лежит в замыкании единственной компоненты схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на X. Из этого факта и неприводимости схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на грассманиане G(1, 4) выводится неприводимость схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени d на общем многообразии Фано X.

Статья посвящена проблеме прогнозирования для выборок с действительными признаками. Цель работы — оценить влияние порожденных бинарных признаков на точность прогнозирования линейной регрессии и гибридных линейных методов, основанных на кластеризации. Для этого исходный набор входных признаков выборки дополняется бинарными признаками, полученными из исходных посредством нечеткой классификации. Производится сравнительное тестирование рассматриваемых методов прогнозирования на исходной и полученной выборках. Результаты тестирования на трех различных базах данных показали, что для классической линейной регрессии использование порожденных признаков привело к существенному увеличению точности прогнозирования. Для линейной регрессии с кластеризацией методом k-means также наблюдалось увеличение точности прогноза, для линейной регрессии с кластеризацией методом knn — незначительное снижение, и неустойчивый результат — для двойной линейной регрессии.

В работе рассматривается экстремальная задача отыскания оптимальных квадратурных формул в смысле С.М. Никольского для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах дифференцируемых функций, у которых норма второго градиента ограничена по норме в L_p (1 ≤ p < ∞) вдоль кривой, по которой вычисляется криволинейный интеграл. Вычислена точная оценка погрешности оптимальной квадратурной формулы на рассматриваемом классе функций и указан явный вид оптимальных узлов и коэффициентов.

Рассмотрены методы преобразования вариационных задач оптимального управления (замены фазовых переменных), позволяющие упростить их решение. К ним относятся методы уменьшения размерности задачи за счет перехода от исходного к новому аргументу, за счет выявления переменной, остающейся неизменной на уравнениях системы (инварианта), за счет расширения задачи и перехода от исходной задачи к более простой, дающей оценку значения исходной. В ряде случаев решение упрощается при переходе от нескольких условий в форме дифференциальных уравнений к одному интегральному. Последнее относится к уравнениям с запаздывающим аргументом. Даны примеры использования изложенных методов в реальных прикладных задачах управления биосинтезом, охлаждения кристаллических систем с использованием лазерного излучения и др.