Рассматриваются семейства математических моделей биологических популяций. Выявлены инвариантные соотношения между параметрами, характеризующими ту или иную популяцию. Исследуются динамические свойства моделей в предположении, что одна или несколько популяций являются сильно плодовитыми, т.е. соответствующие мальтузианские коэффициенты достаточно велики. На основе разработанного автором специального асимптотического метода задачу о поведении решений исходных систем удается свести к существенно более простой задаче о динамике полученных конечномерных отображений. В частности, показано, что для решений этих отображений, а значит, и исходных систем уравнений характерны нерегулярные релаксационные ко- лебания. Интересно отметить, что амплитуды таких колебаний являются достаточно большими.

Исследуются особенности колебаний решений адиабатических осцилляторов при наличии в уравнении запаздывания. Изложена методика построения асимптотических формул в окрестности бесконечности для одного класса линейных систем с запаздывающим аргументом. Кроме того, изучается динамика изменения зоны параметрического резонанса одного адиабатического осциллятора при изменении величины запаздывания.

Рассматривается динамика лазеров класса B с некогерентной оптической обратной связью, образованной быстро вибрирующими внешними зеркалами. С этой целью изучена задача об устойчивости состояния равновесия в модельной системе с быстро осциллирующими коэффициентами. Получена усредненная система с распределенным запаздыванием. Установлено, что в присутствии быстрых осцилляций запаздывания граница неустойчивости состояния равновесия сдвигается в сторону существенно бóльших значений коэффициента обратной связи. Зависимость величины смещения при возрастании амплитуды модуляции имеет зонную структуру, поэтому быстрые осцилляции запаздывания могут стабилизировать или дестабилизировать состояние равновесия. Построены нормальные формы, которые показывают изменения знака ляпуновской величины вдоль границы и описывают характеристики периодических и квазипериодических режимов вблизи состояния равновесия.

Продолжено исследование расширения понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в изучении статистически инвариантных множеств и статистических характеристик множества достижимости управляемых систем. В данной работе получены условия статистической инвариантности и исследованы свойства статистических характеристик для управляемых систем с периодическими коэффициентами. Показано, что свойство статистической инвариантности тесно связано со свойством допустимости периодических процессов для линейных управляемых систем. Допустимость означает, что любому периодическому управлению из фиксированного множества отвечает единственное периодическое решение, находящееся в заранее заданной области фазового пространства. Результаты работы могут найти применение при нахождении статистических характеристик, возникающих в различных моделях биологии, химии, экономики.

Изучаются вопросы приближенного решения одной задачи оптимального управления для нелинейного псевдогиперболического уравнения пятого порядка с начально-граничными условиями и общим видом критерия оптимальности. Использование метода разделения переменных в виде ряда Фурье сводит обобщенное решение начально-граничной задачи к счетной системе нелинейных интегральных уравнений. С помощью методов последовательных приближений и интегральных неравенств изучается однозначная разрешимость конечной системы нелинейных интегральных уравнений при фиксированных значениях управления, для которых выполняется заданное условие ограниченности. Оценивается допускаемая погрешность по состоянию «укороченного» обобщенного решения начально-граничной задачи. Далее доказывается, что последовательность управлений является минимизирующей последовательностью для искомой задачи.

Получены некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами и обобщенными модулями непрерывности m-го порядка Ωm в пространстве L₂[0, 2π]. Подобные усредненные характеристики гладкости функций в ходе исследования важных вопросов конструктивной теории функций рассматривались ранее в работах К.В. Руновского, Э.А. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда и многих других. Для некоторых классов функций, определяемых указанными модулями непрерывности, r-тые производные которых мажорируются функциями, удовлетворяющими определенным ограничениям, получены точные значения бернштейновского, гельфандовского, колмогоровского, линейного и проекционного n-поперечника. Приведен пример мажоранты, для которой все сформулированные в статье требования выполнены.

Рассматривается экстремальная задача нахождения точных констант в неравенствах типа Джексона – Стечкина между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых функций f ∈ L (r) ₂ [0, 2π] тригонометрическими полиномами и усредненными значениями с положительным весом ϕ модулями непрерывности m-го порядка ωm(f (r) , t), принадлежащих пространству Lp, 0 < p ≤ 2. В частности, решена задача о минимизации константы в указанных неравенствах по всем подпространствам размерности n, поставленная Н.П. Корнейчуком. Для некоторых классов функций, определяемых указанными модулями непрерывности, найдены точные значения n-поперечников класса

 L (r) 2 (m, p, h; ϕ) :=    f ∈ L (r) 2 :   Z h 0 ω p m(f (r) ;t)2 ϕ(t)dt   1/p  Z h 0 ϕ(t)dt   −1/p ≤ 1   

в гильбертовом пространстве L₂ и указаны соответствующие экстремальные подпространства. Приведенные в данной статье результаты являются продолжением и обобщением некоторых ранее известных результатов, полученных в этом направлении.

Замкнутые локально минимальные сети — это «разветвлённый» аналог замкнутых несамопересекающихся геодезических. Исследуются свойства таких сетей на поверхностях выпуклых многогранников и задача описания класса выпуклых многогранников, на поверхности которых существуют такие сети. Замкнутая локально минимальная сеть на выпуклом многограннике — это вложенный в многогранник граф с рёбрами-геодезическими, в каждой вершине которого сходится ровно три ребра под углами по 120∘ . Случай замкнутых геодезических не рассматривается. Основные результаты статьи заключаются в следующем. Показано, что естественное условие на кривизны вершин многогранника, необходимое для существования на нём замкнутой локально минимальной сети, не является достаточным, и доказано новое, более сильное, необходимое условие. Описаны всевозможные комбинаторные структуры и длины рёбер минимальных сетей на выпуклых многогранниках. Доказано, что на почти всех выпуклых многогранниках, все кривизны которых делятся на π/3 , существует замкнутая локально минимальная сеть.

Рассматривается задача о числе решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. Разбиение называется решетчатым, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом, переводящим все разбиение в себя. Пусть T(n) – число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z² . Доказано, что 2 n−3 + 2[ n−3 2 ] ≤ T(n) ≤ C(n + 1)3 (2.7)n+1. При доказательстве нижней оценки использована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число решетчатых разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на одном критерии существования решетчатого разбиения плоскости на полимино, а также на теории самонепересекающихся блужданий на квадратной решетке. Также доказано, что почти все полимино, дающие решетчатые разбиения плоскости, имеют большой периметр.

Рассматривается система из трех однонаправленно связанных сингулярно возмущенных скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями, моделирующих электрическую активность кольцевой нейронной ассоциации. Предполагается, что для каждого из уравнений при критических значениях параметров реализуется случай бесконечномерного вырождения. Далее, при условии, что бифуркационные параметры близки к критическим, а коэффициент связи подходящим образом мал, строится квазинормальная форма данной системы. Анализируя эту квазинормальную форму, на основе теоремы о соответствии, удается установить, что при подходящем выборе параметров в фазовом пространстве исходной системы может сосуществовать любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических движений.