Совершенные призмоиды и решетчатые многогранники Делоне

Аннотация

Совершенным призмоидом называется выпуклый многогранник P такой, что для каждой его F существует опорная гиперплоскость α, параллельная F, такая что любая вершина многогранника P лежит либо в F, либо в α. Совершенные призмоиды связаны с гипотезой Калаи о том, что у любого выпуклого центрально-симметричного многогранника не менее 3^d граней, а ровно 3^d граней содержат только многогранники Ханнера. Любой многогранник Ханнера является совершенным призмоидом (обратное не верно). Многогранник, который является выпуклой оболочкой некоторого подмоножества вершин единичного куба, называется 0/1-многогранником. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому 0/1-многограннику той же размерности. (Это означает, что любой совершенный призмоид является решетчатым многогранником). Пусть в пространстве R^d задана решетка Λ и многогранник D, вписанный в шар B. Многогранник D называется решетчатым многогранником Делоне, если внутри шара нет точек решетки и D является выпуклой оболочкой множества Λ ∩ ∂B, где ∂B — граница шара B. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому решетчатому многограннику Делоне.