Периодические изменения автоволнового фронта в двумерной системе параболических уравнений

Работа направлена на исследование решений типа фронта для нелинейной системы параболических уравнений в двумерной области. Систему можно рассматривать как математическую модель, описывающую резкое изменение физических характеристик в пространственно неоднородных средах. Система уравнений содержит малые параметры в разных степенях при дифференциальном операторе, что означает различие характерных скоростей протекания процессов для каждой из компонент. Исследование проведено с помощью методов теории контрастных структур, что позволило получить условия существования решения типа фронта, локализованного в окрестности замкнутой кривой, определить зависимость скорости фронта от времени, получить асимптотическое приближение решения нулевого и первого порядков по малому параметру. Приближенное решение позволяет подобрать параметры модели таким образом, чтобы результат соответствовал наблюдаемым процессам, объяснять и описывать особенности решений с резкими градиентами, создавать модели, обладающие устойчивыми решениями, тем самым облегчая задачу получения численных результатов. Известно, что численный эксперимент для пространственно двумерных моделей требует значительных вычислительных мощностей, применения методов параллельного программирования и не позволяет эффективно анализировать и модифицировать модели. В данной работе получено асимптотическое приближение решения, требующее обоснования, которое может быть проведено по методу дифференциальных неравенств. Метод дифференциальных неравенств в данном случае предполагает построение верхнего и нижнего решений задачи на основе асимптотики. Область применения математической модели – описание автоволновых решений в задачах экологии, биофизики, физики горения, химической кинетики.

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, Москва, 1990;

2. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 1983–2003;

3. Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений”, Дифференциальные уравнения, 51:3 (2015), 339–358;

4. Левашова Н.Т., Нефeдов Н.Н., Ягремцев А.В., “Контрастные структуры в уравнениях реакция–диффузия–адвекция в случае сбалансированной адвекции”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:3 (2013), 365–376;

5. Nefedov N.N., Recke L., Schnieder K.R., “Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reaction–advection–diffusion equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 405:1 (2013), 90–103.

6. Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., Орлов А.О., “Стационарное уравнение реакции–диффузии с разрывным реактивным членом”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:5 (2017), 854–866;

7. Антипов Е.А., Волков В.Т., Левашова Н.Т., Нефедов Н.Н., “Решение вида движущегося фронта двумерной задачи реакция-диффузия”, Модел. и анализ информ. систем, 24:3 (2017), 259–279;

8. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:9 (2013), 1427–1447;

9. Levashova N., Melnikova A., Semina A., Sidorova A., “Autowave mechanisms of structure formation in urban ecosystems as the process of self-organization in active media”, Communication on Applied Mathematics and Computation, 31:1 (2017), 32–42.

10. Сидорова А.Э., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. и др., “Автоволновая самоорганизация в неоднородных природно-антропогенных экосистемах”, Вестник Московского университета. Серия 3: Физика, астрономия, 2016, №6, 39–45;

11. Melnikova A., Levashova N., Lukyanenko D., “Front Dynamics in an Activator-Inhibitor System of Equations”, Lecture Notes in Computer Science, 10187 (2017), 492–499.

12. Levashova N., Muhartova J., Davydova M., “The Use of Contrast Structures Theory for the Mathematical Modelling of the Wind Field in Spatially Heterogeneous Vegetation Cover”, Lecture Notes in Computer Science, 10187 (2017), 464–472.

13. Murray J., Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer–Verlag, New York, 2003.