Бифуркация Андронова–Хопфа в одной биофизической модели реакции Белоусова
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-63-70
Аннотация
В работе рассматривается задача математического моделирования окислительновосстановительных колебательных химических реакций, в основе которых лежит широко известный механизм реакции Белоусова. Процесс взаимодействия основных компонентов в такой реакции может быть интерпретирован феноменологически близкой к ней моделью «хищник – жертва». В связи с этим рассматривается параболическая краевая задача, состоящая из трех уравнений вольтерровского типа, которая представляет собой математическую модель этой реакции. Сначала проводится локальное исследование окрестности нетривиального состояния равновесия системы, определяется критический параметр, при котором в окрестности нетривиального решения колебательным образом теряется устойчивость. С помощью стандартных замен строится нормальная форма изучаемой системы, приводится вид ее коэффициентов, по которым определяется качественное поведение модели, кроме того, построено их графическое представление в зависимости от параметров задачи. Полученная нормальная форма позволяет доказать теорему о существовании орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла, ответвляющегося от состояния равновесия, и найти его асимптотику. Для выяснения границ применимости найденной асимптотики проводится сравнение амплитуд колебаний одной из компонент периодического решения, полученных на основе асимптотических формул и путем численного интегрирования модельной системы. Наряду с основным случаем бифуркации Андронова–Хопфа рассмотрены различные комбинации значений коэффициентов нормальной формы, получающиеся при изменении параметров исследуемой системы, и изучено соответствующее им поведение решений вблизи рассматриваемого состояния равновесия. Далее рассмотрена задача о диффузионной потере устойчивости полученного на первом этапе пространственно однородного цикла. Найдено критическое значение параметра диффузии, при котором этот цикл распределенной системы теряет устойчивость.
Ключевые слова
реакция Белоусова,
параболическая система,
диффузия,
нормальная форма,
асимптотика,
бифуркация Андронова–Хопфа
При поддержке: Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 14-21-00158).
Список литературы
1. Белоусов Б.П., “Периодически действующая реакция и ее механизм”, Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 г., 1959, 145–147;
2. Белоусов Б.П., “Периодически действующая реакция и ее механизм”, Автоволновые процессы в системах с диффузией, Горький, 1981, 176–186;
3. Жаботинский А.М., Концентрационные автоколебания, Наука, М., 1974, 180 с.;
4. Колесов Ю.С., Проблема адекватности экологических уравнений, Деп. в ВИНИТИ № 1901-85, 1985;
5. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Релаксационные колебания и диффузионный хаос в реакции Белоусова”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 51:8 (2011), 1400– 1418;
6. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Локальные методы анализа динамических систем, ЯрГУ, Ярославль, 2006, 92 с.;
7. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Конечномерные модели диффузионного хаоса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:5 (2010), 860–875;
8. Glyzin S.D., “Dimensional characteristics of diffusion chaos”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 452–469.
9. Glyzin S.D., Shokin P.L., “Diffusion chaos in the reaction–diffusion boundary problem in the dumbbell domain”, Automatic Control and Computer Sciences, 50:7 (2016), 625–635.
10. Glyzin S., Goryunov V., Kolesov A., “Spatially inhomogeneous modes of logistic differential equation with delay and small diffusion in a flat area”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 38:5 (2017), 898–905.
11. Васильева А.Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х., “Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией”, Матем. сб., 130(172):4(8) (1986), 488–499;
Рецензия
Для цитирования:
Горюнов В.Е. Бифуркация Андронова–Хопфа в одной биофизической модели реакции Белоусова. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(1):63-70. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-63-70
For citation:
Goryunov V.E. The Andronov–Hopf Bifurcation in a Biophysical Model of the Belousov Reaction. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(1):63-70. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-1-63-70
Просмотров: 1064
Послать статью по эл. почте 