О гипотезах Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии и его общем схемном слое в случае конечной характеристики

Аннотация

В работе изучаются взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на общем схемном слое при условии, что общий схемный слой имеет иррегулярность нуль. Пусть \(\pi:X\to C\) -- сюръективный морфизм гладких проективных многообразий над конечным полем \(F_q\) характеристики \(p\), \(C\) -- кривая, общий схемный слой морфизма \(\pi\) является гладким многообразием \(V\) над полем \(k=\kappa(C)\) рациональных функций кривой \(C\), \(\overline k\) -- алгебраическое замыкание поля \(k\), \(k^s\) -- его сепарабельное замыкание, \(NS(V)\) -- группа Нерона -- Севери классов дивизоров на многообразии \(V\) по модулю алгебраической эквивалентности, причем выполнены следующие условия: \(H^1(V\otimes\overline k,\mathcal O_{V\otimes\,\overline k})=0,\) \; \(NS(V)=NS(V\otimes\overline k).\) Если для простого числа \(l\), не делящего \({Card}([NS(V)]_{tors})\) и отличного от характеристики поля \(F_q\), верно соотношение \(NS(V)\otimes\Bbb Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,[H^2(V\otimes k^{sep},Q_l(1))]^{Gal( k^{sep}/k)} \)\; \((\)другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на \(V )\), то для любого простого числа \(l\neq charr(F_q)\) гипотеза Тэйта верна для дивизоров на \(X\): \(NS(X)\otimes Q_l\,\,\widetilde{\rightarrow} \,\,[H^2(X\otimes\overline F_q,Q_l(1))]^{Gal(\overline F_q/ F_q)}.\) В частности, из этого результата следует гипотеза Тэйта для дивизоров на арифметической модели K3 -- поверхности над достаточно большим глобальным полем конечной характеристики, отличной от 2.