Асимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-13-30
Аннотация
Рассматривается асимптотическое распределение собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. Это дает возможность получить асимптотики зон устойчивости и неустойчивости решений. Показано, что в отсутствие точек поворота (\(r(t)>0\)) длины зон неустойчивости стремятся к нулю с ростом их номера, а длины зон устойчивости -- к некоторой положительной величине. Ситуация, когда \(r(t)\ge 0\) и имеются нули \(r(t)\), приводит к тому, что длины зон устойчивости и зон неустойчивости имеют конечный ненулевой предел при неограниченном увеличении номера соответствующей зоны. Если же функция \(r(t)\) знакопеременна, то длины всех зон устойчивости стремятся к нулю, а длины зон неустойчивости -- к некоторым конечным величинам. Эти выводы позволили сформулировать ряд интересных критериев устойчивости и неустойчивости решений линейного уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.
Приведенные результаты иллюстрируются содержательным примером. Методика исследования основана на детальном изучении так называемых специальных эталонных уравнений и последующем сведении исходных уравнений к тому или иному виду эталонных уравнений. При этом используются асимптотические методы теории сингулярных возмущений, а также известные свойства ряда специальных функций.
Ключевые слова
Об авторе
Сергей Александрович Кащенко
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова;
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003;
Каширское ш., 31, г. Москва, 115409
Список литературы
1. Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, Наука, М., 1972.
2. Ляпунов А. М., “Об одном линейном дифференциальном уравнении второго порядка”, Собр. соч., 2, Изд-во АН СССР, М.; Л., 1956., 401–403.
3. Ляпунов А. М., “Об одном трансцендентном уравнении и о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с периодическими коэффициентами”, Собр. соч., 2, Изд-во АН СССР, М.; Л., 1956, 404–406.
4. Смирнов В. И., “Научный архив А.М. Ляпунова по вопросам устойчивости и теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Тр. III Всесоюзн. матем. съезда, I, Изд-во АН СССР, М., 1956, 236.
5. Коддингтон Э., Левинсон И., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.
6. Дородницын А. А., “Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка”, УМН, 7, 6:52 (1952), 3–96.
7. Тихонов А. Н., “Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных”, Математический сборник, 31 (73):3 (1952), 575–586.
8. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Федорюк М. В., “Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Итоги науки. Математический анализ 1967, ВИНИТИ АН СССР, М., 1969.
9. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973.
10. Крейн М.Г., “Основные положения теории λ- зон устойчивости канонических систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами”, Cборник Памяти А.А. Андронова, Изд-во АН СССР, М., 1955.
11. Кащенко С. А., “Предельные значения собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 3–39.
12. Кащенко С. А., “Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота”, Вест. Яросл. ун-та, 10, 1974, 40–64.
13. Kashchenko S. A., “Asymptotics of Eigenvalues of the First Boundary-Value Problem for
14. Singularly Perturbed Second-Order Differential Equation with Turning Points”, Automatic Control and Computer Sciences, 50:7 (2016), 636–656.
15. Кащенко С. А., “Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Вестник Яросл. ун-та, 13, 1975, 20–83.
16. Кащенко С. А., “Асимптотические законы распределения собственных значений периодической и антипериодической краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота”, Исслед. по устойч. и теории колеб., Ярославль: ЯрГУ, 1976, 95–113.
Рецензия
Для цитирования:
Кащенко С.А. Асимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(1):13-30. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-13-30
For citation:
Kashchenko S.A. Asymptotic of Eigenvalues of Periodic and Antiperiodic Boundary Value Problem for Second Order Differential Equations. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(1):13-30. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-13-30
Просмотров: 1137
Послать статью по эл. почте 