Бифуркации периодических решений уравнения Мэкки–Гласса
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-6-784-803
Аннотация
В работе изучаются бифуркации периодических решений из состояния равновесия известного уравнения Мэкки–Гласса, предложенного в качестве математической модели изменения плотности белых клеток крови. Уравнение, записанное в безразмерных переменных, содержит малый параметр при производной, что делает его сингулярным. К уравнению применяется метод равномерной нормализации, позволяющий свести исследование поведения решений в окрестности состояния равновесия к анализу счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, из которых выделяются уравнения быстройй и медленныхх переменных. Показано, что состояния равновесия уравнений медленныхх переменных определяют периодические решения. Анализ состояний равновесия позволяет изучить бифуркации периодических решений в зависимости от параметров уравнения и их устойчивость. Показана возможность одновременной бифуркации большого числа устойчивых периодических решений. Это явление носит название бифуркации мультистабильности.
Об авторах
Е. П. Кубышкин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
д-р. физ.-мат. наук, профессор, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
Россия
д-р. физ.-мат. наук, профессор, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
А. Р. Морякова
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
аспирант, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия
Список литературы
1. Glass L., Mackey M., From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life, Princeton: Princeton University Press, 1988.
2. Liz E., Trofimchuk E., Trofimchuk S., “Mackey–Glass type delay differential equations near the boundary of absolute stability”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 275:2 (2002), 747–760.
3. Su H., Ding X., Li W., “Numerical bifurcation control of Mackey–Glass system”, Applied Mathematical Modelling, 35:27 (2011), 3460–3472.
4. Berezansky L., Braverman E., “Mackey-glass equation with variable coefficients”, Computers & Mathematics with Applications, 51:1 (2006), 1–16.
5. Wu X.-M., Li J.-W., Zhou H.-Q., “A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis”, Computers & Mathematics with Applications, 54:6 (2007), 840–849.
6. Junges L., Gallas J., “Intricate routes to chaos in the Mackey–Glass delayed feedback system”, Physics Letters A, 376:30–31 (2012), 2109–2116.
7. Amil P., Cabeza C., Masoller C., Marti A., “Organization and identification of solutions in the time-delayed Mackey-Glass model”, Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 25:4 (2015), 043112.
8. Кубышкин Е.П., Назаров А.Ю., “Анализ колебательных решений одного нелинейного сингулярно возмущенного дифференциально-разностного уравнения”, Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 5:2 (2012), 118–125.
9. Bellman R., Cooke K. L., Differential Difference Equations, New York: Academic Press, 1963.
10. Шиманов С.Н., “К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием”, Прикл. математика и механика, 23:5 (1959), 836–844.
11. Krasnoselskii M. A., Vainikko G. M., Zabreyko R. P., Ruticki Ya. B., Stetsenko V. Ya, Approximate solution of operator equations, Springer, 1972.
Рецензия
Для цитирования:
Кубышкин Е.П., Морякова А.Р. Бифуркации периодических решений уравнения Мэкки–Гласса. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(6):784-803. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-6-784-803
For citation:
Kubyshkin E.P., Moryakova A.R. Bifurcation of Periodic Solutions of the Mackey– Glass Equation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(6):784-803. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-6-784-803
Просмотров: 1198
Послать статью по эл. почте 