О числовых характеристиках симплекса и их оценках

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(Q_n=[0,1]^n\) --- \(n\)-мерный
единичный куб. Для невырожденного симплекса \(S\subset {\mathbb R}^n\) через
\(\sigma S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра тяжести \(S\)
с~коэффициентом гомотетии \(\sigma\). В работе рассматриваются следующие числовые характеристики симплекса. Обозначим через \(\xi(S)\) минимальное \(\sigma>0\), такое что \(Q_n\subset \sigma S\). Через \(\alpha(S)\) обозначим минимальное \(\sigma>0\), при котором \(Q_n\) принадлежит трансляту симплекса \(\sigma S\).
Пусть \(d_i(S)\) --- \linebreak \(i\)-й осевой диаметр \(S\), т.\,е. максимальная длина отрезка, принадлежащего \(S\) и параллельного \(i\)-й координатной оси. Применяются формулы для вычиcления \(\xi(S)\), \(\alpha(S)\), \(d_i(S)\), полученные ранее первым автором. В~статье рассматривается случай \(S\subset Q_n\).

Пусть \(\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. \)
В работах первого автора была сформулирована гипотеза: если \(\xi(S)=\xi_n\), то \(\alpha(S)=\xi(S)\). Это утверждение было доказано им для \(n=2\) и~случая, когда \(n+1\) --- число Адамара, т.\,е. существует матрица Адамара порядка \(n+1\). Более сильным утверждением является следующая гипотеза: для любого \(n\) существует константа \(\gamma \geq 1\), не зависящая от \(S\subset Q_n\), с которой выполняется неравенство \(\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).\)
Минимальное \(\gamma\) c этим свойством обозначается через \(\varkappa_n\).
Если \(n+1\) --- число Адамара, то точное значение \(\varkappa_n\) равно 1.
Существование \(\varkappa_n\) для других \(n\) было неясным. В работе с помощью компьютерных методов устанавливается, что $$\varkappa_2 = \frac{5+2\sqrt{5}}{3}=3.1573\ldots $$
Доказывается новая оценка
$$\xi_4\leq \frac{19+5\sqrt{13}}{9}=4.1141\ldots,$$
улучшающая прежний результат \(\xi_4\leq \frac{13}{3}=4.33\ldots\)
Высказывается предположение, что \(\xi_4\) в точности равно
\(\frac{19+5\sqrt{13}}{9}\). Использование этого значения в компьютерных вычислениях даёт значение
$$\varkappa_4 = \frac{4+\sqrt{13}}{5}=1.5211\ldots$$

Пусть \(\theta_n\) --- минимальная величина нормы интерполяционного проектора на пространство линейных функций \(n\) переменных как оператора из \(C(Q_n)\) в \(C(Q_n)\). Известно, что при любом \(n\)
$$\xi_n\leq \frac{n+1}{2}\left(\theta_n-1\right)+1,$$
причём для \(n=1,2,3,7\) в этом соотношении достигается равенство.
Применение компьютера даёт результат \(\theta_4=\frac{7}{3}\).
Отсюда следует, что минимальное значение \(n\), при котором в последнем соотношении выполняется строгое неравенство, равно 4.

1. Климов В. С., Ухалов А.Ю., Решение задач математического анализа с использованием систем компьютерной математики, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2014, 96 с.

2. Невский М. В., “Неравенства для норм интерполяционных проекторов”, Модел. и анализ информ. систем, 15:3 (2008), 28–37.

3. Невский М. В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43.

4. Невский М. В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593.

5. Невский М. В., “О геометрических характеристиках n-мерного симплекса”, Модел. и анализ информ. систем, 18:2 (2011), 52–64.

6. Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.

7. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2012, 218 с.

8. Невский М. В., “Вычисление максимального в симплексе отрезка данного направления”, Фундамент. и прикл. матем., 18:2 (2013), 147–152.

9. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.

10. Lassak M., “Parallelotopes of maximum volume in a simplex”, Discrete Comput. Geom., 21 (1999), 449–462.

11. Scott P. R., “Lattices and convex sets in space”, Quart. J. Math. Oxford (2), 36 (1985), 359–362.

12. Scott P. R., “Properties of axial diameters”, Bull. Austral. Math. Soc., 39 (1989), 329–333.