Численное исследование начально-краевой задачи Неймана для сингулярно возмущенного параболического уравнения

Аннотация

Для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения с возмущающим параметром ε при старшей производной, ε ∈ (0, 1], рассматривается начально-краевая задача на отрезке с условием Неймана на границе. В этой задаче, когда параметр ε стремится к нулю, в окрестностях боковой границы появляются пограничные слои. В работе исследуется сходимость решения и его регулярной и сингулярной компонент. Показано, что стандартные разностные схемы на равномерных сетках, используемые для численного решения этой задачи, не сходятся ε-равномерно. Ошибка сеточного решения неограниченно растет, когда параметр ε → 0. Использование специальной разностной схемы на сетке Шишкина — кусочно-равномерной по x сетке, сгущающейся в окрестностях пограничных слоев, и равномерной по t, построенных с использованием монотонных сеточных аппроксимаций дифференциальной задачи — позволяет найти численное решение этой задачи, сходящееся в равномерной норме ε-равномерно. Результаты численных экспериментов подтверждают теоретические результаты.