Об одной оценке для нормы интерполяционного проектора

Аннотация

Пусть $Q_n=[0,1]^n$ - единичный куб в ${\mathbb R}^n$, $C(Q_n)$ - пространство непрерывных функций $f:Q_n\to{\mathbb R}$ с нормой $\|f\|_{C(Q_n)}:=\max_{x\in Q_n}|f(x)|.$ Через $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ обозначим совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, т. е. линейных функций на ${\mathbb R}^n$. Интерполяционный проектор $P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ с узлами $x^{(j)}\in Q_n$ определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$, $j=1,$ $\ldots,$ $ n+1$. Пусть $\|P\|_{Q_n}$ - норма $P$ как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$. Если $n+1$ - число Адамара, то существует невырожденный правильный симплекс, вершины которого находятся в вершинах куба $Q_n.$ В статье обсуждаются различные подходы к получению оценок вида $||P||_{Q_n}$ $\leq$ $c\sqrt{n}$ для нормы соответствующего интерполяционного проектора.