Исследование нелинейных полиномиальных систем управления

В работе рассматриваются методы оценивания устойчивости с помощью функций Ляпунова, применяемые для нелинейных полиномиальных систем управления. Для оценивания устойчивости используется аппарат метода базисов Грёбнера. Приводится описание метода базисов Грёбнера. Для применения метода канонические соотношении нелинейной системы аппроксимируются полиномами компонент векторов состоянии и управления. Для вычисления базиса Грёбнера применяется алгоритм Бухбергера, который реализован в программах символьных вычислений для решения систем нелинейных полиномиальных уравнений. Рассматривается использование базиса Грёбнера при нахождения решений нелинейной системы полиномиальных уравнений аналогично применению метода Гаусса для решения системы линейных уравнений. Определяются равновесные состояния нелинейной полиномиальной системы как решения нелинейной системы полиномиальных уравнений. Приводится пример определения равновесных состояний нелинейной полиномиальной системы с использованием метода базисов Грёбнера. Приводится пример нахождения критических точек нелинейной полиномиальной системы с использованием метода базисов Грёбнера и прикладного программного обеспечения Wolfram Mathematica. При использовании прикладного программного обеспечения Wolfram Mathematica применяется функция определения редуцированного базиса Грёбнера. Рассматривается применение метода базиса Грёбнера для оценивания области притяжения нелинейной динамической системы относительно точки равновесия. Для определения скалярного потенциала векторное поле динамической системы декомпозируется на градиентную и вихревую компоненты. По градиентному компоненту скалярный потенциал и функция Ляпунова в полиномиальной форме определяются на основе применения оператора гомотопии. Рассмотрено использование базисов Грёбнера при градиентном методе нахождения функции Ляпунова нелинейной динамической системы. Рассмотрено согласование сигналов ввода-вывода системы на основе построения базисов Грёбнера.

1. N. N. Krasovsky, Problems of the Theory of Stability of Motion. Moscow: Mir, 1959.

2. A. Papachristodoulou and S. Prajna, “On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition”, in Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, 2002., IEEE, vol. 3, 2002, pp. 3482–3487.

3. K. Forsman, “Construction of Lyapunov functions using Gro¨bner bases”, in [1991] Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE, 1991, pp. 798–799.

4. S. N. Chukanov and D. V. Ulyanov, “Decomposition of the vector field of control system by constructing a homotopy operator”, Probl. Upr., vol. 6, pp. 2–6, 2012.

5. D. G. Edelen, Applied Exterior Calculus. John Wiley & Sons, Inc., 1985.

6. X. Liao, L. Wang, and P. Yu, Stability of dynamical systems. Elsevier, 2007.

7. H. K. Khalil, Nonlinear systems. Prentice hall, 2002.

8. D. Nesic, I. Mareels, T. Glad, and M. Jirstrand, “The Gro¨bner basis method in control design: An overview”, in IFAC Proceedings Volumes, vol. 35, 2002, pp. 13–18.

9. B. Buchberger, “Ein algorithmisches Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems”, Aequationes Muthematicae, vol. 4, no. 3, pp. 374–383, 1970.

10. J. L. Awange, B. Pala´ncz, R. H. Lewis, and L. Vo¨lgyesi, Mathematical Geosciences – Hybrid Symbolic-Numeric Methods. Springer International Publishers, 2018.

11. S. Wolfram, The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003.

12. M. Demenkov, “A Matlab tool for regions of attraction estimation via numerical algebraic geometry”, in 2015 International Conference on Mechanics-Seventh Polyakhov’s Reading, IEEE, 2015, pp. 1–5.

13. N. Sidorov, D. Sidorov, and Y. Li, “Basins of attraction and stability of nonlinear systems equilibrium points”, Differential Equations and Dynamical Systems, pp. 1–10, 2019.

14. D. G. Luenberger and Y. Ye, Linear and nonlinear programming. Springer, 2016.