Особенности алгоритмической реализации разностных аналогов логистического уравнения с запаздыванием
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-3-344-355
Аннотация
Логистическое уравнение с запаздыванием или уравнение Хатчинсона представляет собой одно из фундаментальных уравнений популяционной динамики и находит широкое применение в задачах математической экологии. В работе рассматривается семейство отображений, построеннное для этого уравнения на основе центральных разделенных разностей. Такие разностные схемы обычно используются при численном моделировании данной задачи. Представленные отображения сами по себе могут служить моделями динамики популяций, поэтому их изучение представляет значительный интерес. В работе сопоставляются свойства траекторий данных отображений и исходного уравнения с запаздыванием. Показано, что поведение решений отображений, построенных на основе центральных разделенных разностей, не сохраняет, даже при достаточно малой величине шага по времени, основных динамических свойств логистического уравнения с запаздыванием. В частности, у этого отображения при колебательной потере устойчивости ненулевого состояния равновесия не бифурцирует устойчивая инвариантная кривая. Эта кривая соответствует в таких отображениях устойчивому предельному циклу исходного непрерывного уравнения. Тем самым показано, что такая разностная схема не может быть использована для численного моделирования логистического уравнения с запаздыванием.
При поддержке: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-29-10043
Об авторах
Сергей Дмитриевич Глызин
Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
Заведующий кафедрой компьютерных сетей, доктор физико-математических наук, профессор.
150003, Ярославль, ул. Советская, 14
Сергей Александрович Кащенко
Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
Первый проректор, доктор физико-математических наук, профессор.
150003, Ярославль, ул. Советская, 14
Анна Олеговна Толбей
Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
Доцент кафедры компьютерных сетей, кандидат физико-математических наук.
150003, Ярославль, ул. Советская, 14
Список литературы
1. E. M. Wright, "A non-linear difference-differential equation”, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, vol. 194, pp. 66-87, 1955.
2. S. Kakutani and L. Markus, "On the non-linear difference-differential equation y'(t) = (a - by(t -r))y (t)”, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, vol. 4, pp. 1-18,1958.
3. G. S. Jones, "The existence ofperiodic solutions of f'(x) = -af(x-1){1+f(x)}”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 5, pp. 435-450, 1962.
4. S. Kashchenko, "Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 47, no. 7, pp. 470-494, 2013.
5. S. A. Kashchenko, "Periodic Solutions of Nonlinear Equations Generalizing Logistic Equations with Delay”, Math. Notes, vol. 102, pp. 181-192, 2017.
6. S. Kashchenko and D. Loginov, "About Global Stable of Solutions of Logistic Equation with Delay”, Journal of Physics: Conference Series, vol. 937, no. 1, p. 012 019, 2017.
7. J. K. Hale, Theory of functional differential equations. New York: l Springer Verlag, 1977.
8. P. Hartman, Ordinary Differential Equations. New York: Wiley, 1964.
9. S. D. Glyzin and S. A. Kashchenko, "Finite-Dimensional Mappings Describing the Dynamics of a Logistic Equation with Delay”, Doklady Mathematics, vol. 100, no. 1, pp. 380-384, 2019.
10. S. Glyzin and S. Kashchenko, "A family of finite-dimensional maps induced by a logistic equation with a delay”, Mathematical modeling, vol. 32, no. 3, pp. 19-46, 2020.
11. S. D. Glyzin, A. Y. Kolesov, and N. K. Rozov, "Finite-dimensional models of diffusion chaos”, Comput. Math. and Math. Phys., vol. 50, pp. 816-830, 2010.
12. J. E. Marsden and M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications. Appl. Math. Sci, 19. Springer-Verlag, 1976.
13. E. E. ShnoJ, "On the stability of fixed points of two-dimensional mappings”, Differ. Equ., vol. 30, no. 7, pp. 1156-1167, 1994.
14. V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag, 1992.
15. Y. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1995.
16. Y. I. Neimark, "On some cases of periodic motions depending on parameters (In Russian.)”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 129, pp. 736-739, 1959.
17. R. J. Sacker, "On invariant surfaces and bifurcation of periodic solutions of ordinary differential equations”, in Report IMM-NYU 333, New York University, 1964.
18. R. J. Sacker, "A new approach to perturbation theory of invariant surfaces”, Comm. Pure Appl. Math., vol. 18, pp. 717-732, 1965.
19. I. S. Kashchenko and S. A. Kashchenko, "Normal and quasinormal forms for systems of difference and differential-difference equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 38, pp. 243-256, 2016.
20. I. S. Kashchenko and S. A. Kashchenko, "Analysis of Local Dynamics of Difference and Close to Them Differential-Difference Equations”, Russ Math., vol. 62, pp. 24-34, 2018.
Рецензия
Для цитирования:
Глызин С.Д., Кащенко С.А., Толбей А.О. Особенности алгоритмической реализации разностных аналогов логистического уравнения с запаздыванием. Моделирование и анализ информационных систем. 2020;27(3):344-355. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-3-344-355
For citation:
Glyzin S.D., Kashchenko S.A., Tolbey A.O. Features of the Algorithmic Implementation of Difference Analogues of the Logistic Equation with Delay. Modeling and Analysis of Information Systems. 2020;27(3):344-355. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-3-344-355
Просмотров: 588
Послать статью по эл. почте 